Главная > Математика > О теории множеств
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

22. Принцип трансфинитной индукции

Вполне упорядоченные множества обладают следующим важным свойством, называемым принципом трансфннитной индукции:

Если какое-либо утверждение Т

1) справедливо для первого элемента вполне упорядоченного множества

2) справедливо для элемента а множества если оно справедливо для любого его элемента то утверждение Т справедливо для любого элемента множества

Действительно, допустим, что для некоторого утверждения Т выполнены условия 1) и 2), но существуют элементы множества для которых утверждение Т не справедливо, и пусть обозначает множество всех таких элементов. является, следовательно, непустым подмножеством вполне упорядоченного множества и имеет поэтому первый элемент а. Из определения множества вытекает, что утверждение Т должно быть справедливо для любого элемента х множества такого, что . Но тогда, в силу условия 2), утверждение Т должно было бы быть справедливо и для элемента а, что невозможно, так как а принадлежит множеству Допущение, что принцип трансфинитной индукции не имеет силы для какого-то вполне упорядоченного множества, приводит, следовательно, к противоречию. Тем самым мы доказали этот принцип.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление