Главная > Теория автоматического управления > Автоматическое регулирование непрерывных линейных систем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7-5. ЧАСТОТНЫЕ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА

Связь частотных характеристик с весовыми функциями.

Пусть — передаточная функция замкнутой системы, представляющая собою правильную дробь, числитель и знаменатель которой — целые функции и Функция веса (импульсная переходная функция) в этом случае может быть найдена с помощью преобразования Римана — Меллина

Формула (7-49) справедлива для функций все полюсы которых расположены левее линии, проведенной в правой полуплоскости параллельно мнимой оси на расстоянии с от нее.

Перейдем от плоскости к плоскости переменной связанной с соотношением

Для новой переменной интеграл (7-49) примет вид:

На прямой, вдоль которой выполняется интегрирование, имеем:

В дальнейшем будут рассматриваться устойчивые системы, у которых полюсы все расположены левее мнимой оси, и поэтому можно положить Тогда

и

Это — обратное преобразование Фурье, определяющее функцию на интервале при условии абсолютной сходимости интеграла в (7-50), что для устойчивой системы имеет место.

Выделим в (7-50) вещественную и мнимую части

Получим

Так как функции четные, нечетные, то и — четные, а нечетные. Подынтегральная функция в первом слагаемом четная и интеграл в пределах — можно заменить удвоенным значением интеграла в пределах Во втором же слагаемом подынтегральная функция нечетна и интеграл в указанных пределах равен нулю. Учитывая сказанное, получаем:

Рассмотрим теперь функцию

Так как по условию правильная дробь, то на полуокружности Г бесконечно большого радиуса с центром в начале координат, построенной на мнимой оси как на диаметре и расположенной в правой полуплоскости, функция при равномерно стремится к нулю. Тогда в соответствии с леммой Жордана

и

Имеем контурный интеграл. Контур С включает мнимую ось и полуокружность Г. При контур охватывает всю правую полуплоскость. Так как в ней и на контуре нет полюсов функции. то в соответствии с теорией вычетов интеграл равен нулю и

Подставляя это значение и в (7-52), получаем:

Сначала, складывая (7-52) и (7-53), а затем вычитая второе из первого, получаем:

или

Таким образом, для устойчивых систем весовую функцию можно получить с помощью лишь одной из частотных характеристик замкнутой системы — или вещественной или мнимой

Связь частотной характеристики с переходной функцией.

Переходная функция выражается интегралом Римана—Меллина так:

Так как подынтегральная функция имеет полюс в начале координат, т. е. на контуре С, непосредственно использовать для этого случая полученные ранее формулы нельзя. Чтобы обойти эту трудность, представим функцию в виде

Тогда

Так как — постоянная, то ее преобразование Лапласа равно следовательно, обратное преобразование будет

поэтому

Пусть где — полиномы:

Тогда

т. e. подынтегральная функция в (7-57) теперь не имеет полюсов в правой части плоскости и на контуре интегрирования С. Проделаем над (7-57) те же преобразования, какие делались для весовой функции; полагаем и переходим к переменной разделяем вещественную и мнимую части, полагаем равным

нулю интеграл от нечетной функции, находим складываем вычитаем полученные выражения. В результате получаем выражение

или

Все полученное зависимости справедливы для случая , следовательно,

Заметим, что если то приведенные соотношения справедливы для функции полученные выводы распространяются на функции, имеющие постоянные составляющие. Совместив ось абсцисс с линией, изображающей эту составляющую, получим:

Интегралы в полученных формулах не сводятся к квадратурам, и вычисление по ним возможно лишь численными методами, требующими расчетов на ЭВМ. Такие методы используются, например для решения задач прикладной теории информации и теории массового обслуживания, но они мало оправданы в теории автоматического регулирования, где решение можно получить более простым путем. Приведенные формулы используются для приближенных оценок качества и приближенного построения переходных процессов. Для этого функции или аппроксимируются кусочно-линейными зависимостями. Но и здесь вследствие зависимости Уравнений произвольно расположенных отрезков от двух и трех параметров попытки аппроксимации приводили к громоздким, неудобным для использования выкладкам. Широкое распространение

приближенные методы получили лишь после того, как была найдена весьма удачная аппроксимация упомянутых кривых суммой определенным образом расположенных трапеций.

В 1948 г. Браун и Кэмпбел [76] опубликовали метод, пред. ложенный Флойдом для построения весовых функций с помощью разбивки кривой на трапеции. Идея метода сводилась к следующему. Выделялась область существенных частот (полоса пропускания), за пределами которой ординаты становились настолько малыми, что ими можно было пренебречь:

Часть характеристики за пределами полосы пропускания отбрасывалась, а оставшаяся часть в области существенных частот аппроксимировалась ломаной линией (рис. 7-13,

а), заканчивающейся на оси абсцисс, в точке пересечения с осью При этом кривые в окрестности экстремумов аппроксимировались отрезками, параллельными оси абсцисс. Далее из точек излома влево проводились линии, параллельные оси абсцисс, до пересечения с осью ординат. Нетрудно видеть, что при этом характеристика заменялась суммой трапеций, основания которых, начинаясь в начале координат, лежали на оси абсцисс и заканчивались в точках — частотах пропускания для отдельных трапеций (рис. 7-13, б).

Рассмотрим одну из трапеций. Если ее высота полоса пропускания точка излома вводя частоту соответствующую середине наклонного отрезка, и полосу так, что (рис. 7-13,в), получаем:

Рис. 7-13.

Значения приведены в таблице приложения 1. Таким образом, вычисление сводится к элементарным расчетам

В 1949 г. В. В. Солодовников опубликовал широко вошедший после этой публикации в практику метод трапеций для построения переходных функций [54]. Разбиение на трапеции делалось так же, а для упрощения расчетов были составлены таблицы переходных функций, соответствующих единичной трапеции (рис. 7-13, в):

Для этой характеристики

где

Таблица -функции для единичной трапеции при значениях приведена в приложении 2. При трапеция вырождается в треугольник, при — в прямоугольник.

Для того, чтобы получить переходную функцию для произвольной трапеции, имеющей параметры Я; (высота), и для суммы трапеций, используются следующие свойства.

1. Свойство суперпозиции.

Если представить в виде суммы

и обозначить

то переходная функция также представляется суммой

Свойство вытекает с очевидностью из (7-58).

2. Изменение масштаба по оси ординат.

При умножении на постоянный множитель соответствующее значение также умножается на

Если

Свойство также вытекает с очевидностью из (7-58).

3. Изменение масштаба по оси абсцисс.

Если аргумент в выражении частотной характеристики умножается на постоянную то аргумент в выражении переходной функции делится на это число. Иными словами, афинному растяжению характеристики по оси соответствует такая же степень афинного сжатия характеристики по оси

Доказательство: заменим в (7-58) переменные тогда

Приближенное построение переходной функции по вещественной частотной характеристике ведется следующим образом.

1. Характеристика разбивается на трапеций. Из чертежа определяются параметры трапеций

2. В таблице -функций выбирается значение х, ближайшее к и с помощью (7-64) значения пересчитываются, в результате чего получается ряд значений

3. Кривые с учетом знака наносятся на график и затем суммируются:

Метод треугольников. В первое время при применении метода трапеций возникали затруднения, связанные с тем, что в таблице давались с большими интервалами, интервалы для также были велики, что приводило к увеличению погрешности или усложнению расчетов, когда требовалась интерполяция

между смежными значениями для повышения точности. Далее, значения из таблицы после пересчета давали значения не совпадающие для отдельных трапеций, что исключало аналитическое суммирование и требовало графического сложения ординат. В итоге погрешность достигала 10—15% начального значения

Рис. 7-14.

Рис. 7-15.

С целью преодоления этих неудобств в [13, 15] было предложено разбивать на треугольники (рис. 7-14, а). Методика разбивки аналогична методике для трапеций, особенность состоит лишь в том, что эквивалентные треугольники на рис. не равны и даже не подобны соответствующим треугольникам на рис. 7-14, в, но имеют одинаковые длины отрезков, параллельных оси ординат при одинаковых частотах. Очевидно, что для построения кривых только это и существенно.

-функция для треугольника, соответствующая -функции для трапеции при имеет вид:

В приложении 3 дана таблица -функций для треугольников, в которой интервалы между смежными выбраны так, чтобы разность ординат между смежными значениями нигде не превышала 3%, а в подавляющем большинстве точек была порядка 1%. Ошибка от несовпадения к, очевидно, исключена. Поэтому использование треугольников позволяет вести весь расчет, включая суммирование ординат, аналитически и получать итоговую погрешность порядка 3—5%.

Заметим, что при аппроксимации крутых участков характеристик треугольники могут выходить за пределы чертежа. Это давало основания иногда утверждать, что метод удобен лишь при пологих На самом деле нет надобности пытаться

умещать на листе все треугольники, так как по умещающейся на чертеже их части (рис. 7-15) высоты находятся по формуле

вычисление по которой не требует особых усилий и занимает не более 1 мин времени при самом неинтенсивном счете. После разбивки на треугольники и нахождения всех выбираются желаемые значения для окончательной характеристики, по ним рассчитываются соответствующие соть и из таблицы находятся ближайшие к ним. При этом ошибка не превышает Найденные умножаются на затем в каждой точке суммируются аналитически, и получаются ординаты суммарной кривой

Позднее были изданы более детальные таблицы -функций для трапеций объемом в 100 страниц [57], использование которых позволяет получить точность такую же, как и при использовании треугольников. Так как необходимое число треугольников больше, чем число трапеций при той же погрешности на где — число аппроксимирующих горизонтальных отрезков, и, кроме того, при использовании трапеций не надо определять для треугольников, не умещающихся на чертеже, в практике предпочитают пользоваться трапециями. Однако если все же желательно рассчитать переходный процесс возможно точнее, или если таблиц большого объема под рукой нет, метод треугольников полезен тем, что он дает некоторые дополнительные возможности, связанные с тем, что -функция для треугольника — монотонна. В самом деле, дифференцируя для треугольника, получаем:

т. е. — неотрицательная функция, принимающая нулевые значения в точках Монотонность способствует повышению точности построения и, кроме того, дает возможность оценить точность построения, повысив ее, если она окажется недостаточной. Для этого в масштабе, увеличенном в 5—10 раз, строится разность между аппроксимирующей и исходной характеристиками, разность разбивается на треугольники. В силу монотонности функции максимальная ошибка будет не больше суммы всех положительных высот треугольников или абсолютного значения суммы всех отрицательных высот. Если ошибка оказалась меньшей, чем 3%, уточнение не имеет смысла, поскольку погрешность в построении самих характеристик составляет 2%. Если же ошибка больше, а уточнение желательно, то строится поправка к переходной функции равная соответствующей переходной функции для разности, аппроксимированной треугольниками.

Пример. Метод трапеций. Дана передаточная функция

Подставляем и выделяем вещественную часть

Начальная ордината

Вещественная частотная характеристика построена на рис. 7-16, а сплошной линией. Характеристика заменена тремя трапециями рис. 7-16, б с параметрами

Выписываем функции из таблицы, пересчитываем их для этих трех характеристик, строим составляющие переходного процесса для каждой из них и суммируем их. Кривые показаны на рис. 7-17. Там же нанесена для сравнения точная кривая (штриховой линией). Погрешность не превышает

Метод треугольников.

Представим ту же характеристику пятью линейными отрезками и разобьем ломаную на треугольники. Тогда (рис. 7-18)

По этим данным находим высоты:

Ход расчета ординат переходной функции показан в табл. 7-1. На рис. 7-19 построены кривые переходной функции (сплошной линией — приближенная, прерывистой линией — точная).

Нахождение ординат P(w) и S(w) по другим характеристикам.

Если при исследовании устойчивости были построены другие частотные характеристики — амплитудно-фазовые (прямая или обратная), логарифмические, -разбиения в плоскости

одного параметра, то можно избежать расчета и получить их ординаты из уже имеющихся характеристик.

Так, если характеристика разомкнутой системы и замкнутой системы связаны соотношением

то ординаты можно найти из выражения

Рис. 7-16.

Рис. 7-17.

Рис. 7-18.

Рис. 7-19.

(см. скан)

Соответствующие векторы и углы показаны на рис. 7-20. Опустив перпендикуляр на направление вектора найдем

Разумеется, нужно знать частоту в точке В, поэтому предварительно полезно нанести на характеристику точки, отмечающие значения частоты

Можно показать, что в плоскости линии постоянного значения представляют собой окружности:

Центр окружности лежит на оси абсцисс в точке а ее радиус

Соответственно центры окружности лежат на прямой, параллельной мнимой оси на расстоянии —1 от нее, ординаты центров равны 1/25, радиусы

Рис. 7-20.

Все окружности имеют общую точку касания Эта же точка является общей точкой касания и для окружностей

По этим данным легко построить номограммы (рис. 7-21) в виде круговой сетки для нахождения ординат Р и . Построив на одном графике и линии ординаты найдем по точкам пересечения характеристики с кругами номограммы. В точке характеристики соответствующей частоте со, значения ординат Р (со и равны индексам окружностей проходящих через эту точку.

Круговые диаграммы имеются в [57, 60].

Для обратной амплитудно-фазовой характеристики (рис. 7-22) имеем:

можно также найти по кривой D-разбиения в плоскости параметра К (рис. 7-23) при условии (7-66) из соотношения .

Оценка качества по вещественной частотной характеристике.

В основе рассмотренных методов построения переходных процессов по частотным характеристикам и вытекающих из них

(см. скан)

методов оценки качества лежат допущения о том, что обладают следующими свойствами:

1. Малым расхождением между исходной характеристикой и аппроксимирующей ее характеристикой соответствуют малые расхождения между вычисленными по ним процессами:

2. При (за пределами полосы пропускания), где ординаты становятся при всех меньше заданного малого значения характеристика аппроксимируется вещественной осью.

Рис. 7-22.

Рис. 7-23.

Рис. 7-24.

Хотя встречающиеся в практике характеристики, видимо, обладают этими свойствами, первое свойство не имеет строгого обоснования и неправомерно, если не указаны дополнительные свойства при которых оно справедливо.

Попытка указать эти дополнительные свойства была сделана В. В. Солодовниковым [57, 60]. Он дал оценку величине расхождения переходных процессов по величине расхождения вещественных частотных характеристик

где — частота, до которой характеристики совпадают, т. е. — наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству

причем — фиксированный момент времени, о котором ясных указаний не дано (отмечено лишь, что он должен быть не меньше число экстремумов функции

Однако можно указать случаи, когда близость исходной и аппроксимирующей частотных характеристик не гарантирует близости соответствующих переходных процессов. Так, если разность между частотными характеристиками является гармонической функцией

а амплитуда этой ошибки а столь мала, что при аппроксимации составляющей пренебрегли, то переходные процессы в исходной и аппроксимирующей системах отличаются на значение:

Нетрудно заметить, что в момент расхождение между переходными процессами бесконечно велико даже сколь угодно малого конечного а. Поэтому одним из условий справедливости свойства 1 будет отсутствие в кривой незатухающих колебательных составляющих (такие составляющие присутствуют в частотных характеристиках звеньев с чистым запаздыванием).

Не исключена возможность, что могут обнаружиться и другие ограничивающие условия справедливости свойства 1.

Одна группа оценок качества непосредственно вытекает из общих свойств характеристик и математически обоснована. К таким свойствам относятся:

3. Начальное значение равно конечному значению , наоборот, конечное значение равно начальному

Это свойство является следствием теорем о начальном и конечном значениях оригинала и изображения в преобразовании Лапласа.

4. Сжатию характеристики по оси со соответствует пропорциональное растяжение характеристики по оси Это свойство доказано выше. Из него вытекает, что ускорению изменения в функции переменной соответствует пропорциональное замедление во времени соответствующего переходного процесса и наоборот. Более пологим характеристикам соответствуют более быстро протекающие процессы, более крутым характеристикам — замедленные процессы. Эти свойства Удобны для сравнения между собой различных процессов по соответствующим частотным характеристикам.

5. Наличию чисто мнимого корня в характеристическом уравнении системы соответствует полюс функции т. е. в точке модуль характеристики терпит разрыв непрерывности, и соответственно характеристики в этой точке имеют бесконечно большой всплеск; Физически это соответствует резонансу (рис. 7-24,а).

Отсюда следует качественный практический вывод: корню с малой в сравнении с мнимой вещественной частью, т. е. с большим показателем колебательности соответствуют медленно затухающий колебательный характер переходного процесса и наличие острого пика в частотной характеристике (рис. 7-24,б).

6. Чтобы перерегулирование не превышало 18%, достаточно чтобы характеристика была невозрастающей функцией времени:

Доказательство см. в [60].

Рис. 7-25.

Рис. 7-26.

7. Для монотонности процесса достаточно, чтобы характеристика была монотонно убывающей функцией с монотонно убывающей по модулю производной.

Доказательство. Характеристику с монотонно убывающей по модулю отрицательной производной можно представить суммой треугольников, из которых каждый предшествующий лежит выше последующего (рис. 7-25). Все соответствующие слагаемые переходного процесса при этом положительны, а так как каждому треугольнику соответствует монотонная функция то и сумма этих монотонных функций будет монотонна.

Другая группа оценок основывается на конкретных свойствах тех или иных типов характеристик. Изучены характеристики, которые можно аппроксимировать одной, суммой двух и трех трапеций.

В наиболее простом (но сравнительно редком) случае, когда характеристику можно представить одной трапецией с коэффициентом наклона , зависимость перерегулирования а и времени регулирования от коэффициента можно построить непосредственно по таблицам -функций для трапеций. При этом время регулирования возрастает с увеличением х, а перерегулирование а представляется более сложной кривой. Время регулирования заключено в пределах

Случай, когда характеристика представляется суммой двух трапеций, как и предыдущий, рассмотрен В. В. Солодовниковым [54]. Задача усложняется тем, что вещественная характеристика при заданных определяется теперь тремя параметрами — основным наклоном коэффициентом формы и наклоном (рис. 7-26).

Рис. 7-27.

Построив большое число кривых при разных комбинациях параметров, В. В. Солодовников осреднил их, учитывая при этом, что горизонтальный участок характеристики, т. е. интервал частот, пропускаемых с малыми искажениями, должен быть достаточно большим, а коэффициент формы — не менее 0,5, чтобы перерегулирования были не слишком большими. Осредненные кривые зависимости от при значениях параметров трапеций (рис. 7-27,а) и (рис. 7-27,б) построены также с учетом того, что основной наклон должен быть не более 0,8, чтобы запас устойчивости по фазе был не менее 40°. Оценки по кривым выполняются так.

Аппроксимировав суммой двух (или трех) трапеций, находим Рмакс и определяем, к каким параметрам — рис. 7-27, а или б - ближе параметры характеристики из двух трапеций (или положительной части характеристики из трех трапеций). Затем по Рмакс из кривых находим о находится непосредственно по кривой с надписью «0». Так, из рис. 7-27, а при имеем Время на кривых дано в относительных единицах и требует небольшого пересчета, чтобы выразить его в абсолютных единицах. Так, из рис. 7-27, а для имеем Абсолютное значение зависит от частоты среза т. е. от той частоты, при которой логарифмическая амплитудная характеристика разомкнутой системы пересекает ось (т. е. при которой ). Например, если то

Если характеристика имеет положительный и отрицательный — экстремумы (рис. 7-28), ее можно аппроксимировать суммой не менее трех трапеций. Исследования в данном случае усложняются еще больше, так как форму характеристики при заданных Рмакс и определяют уже пять параметров.

Отметим лишь один момент, связанный с характеристиками из трех трапеций.

В следующей главе будет показано, что при расчете и синтезе корректирующих устройств важно выбрать желаемую форму частотной характеристики, при которой обеспечивается заданное качество регулирования. Рмакс и желаемой вещественной характеристики можно выбрать так: выбирается из кривых рис. 7-27 по заданному максимальному перерегулированию. Так, если параметры положительной части близки к параметрам рис. 7-27,б, то при допустимых выбираем рекомендуется выбирать по формуле

Так, в приводимом примере

Более детальное исследование качества по характеристикам типа трех трапеций с номограммами для определения качественных показателей можно найти в работах А. В. Фатеева [62].

Вся эта методика базируется на проделанных расчетах, является эмпирической и приближенной. Такими же эмпирическими,

Рис. 7-28.

не имеющими строгого математического обоснования, но проверенными большим количеством расчетов и опытом построения практических систем являются методы, рассматриваемые в остальной части данной главы.

Оценка качества по показателю колебательности.

В литературе даются два несколько различных (но количественно довольно близких) определения показателя колебательности М. Некоторые авторы [77, 82, 85, 96] показателем колебательности называют величину максимального модуля амплитуднофазовой характеристики замкнутой системы

а другие [6, 31] — отношение максимального значения модуля к начальной ординате характеристики при

Показатель колебательности как оценка качества получил распространение главным образом для следящих систем с единичной обратной связью с передаточной функцией

В большинстве случаев такие системы астатичны и

ля них

т. е. и определения (7-69) и (7-70) совпадают. Для статических систем и приблизительное совпадение имеет место при достаточно больших К.

Физическое значение показателя колебательности ясно в том случае, когда следящая система работает при гармоническом воздействии. Тогда М равен наибольшему возможному отношению амплитуды установившегося колебания на выходе системы к амплитуде воздействия.

Большое число экспериментов и расчетов показало, что если М не превосходит величины 1,2-1,3, то качество процессов получается удовлетворительным и при других типовых воздействиях, например при ступенчатых. Благодаря своей простоте эта оценка получила довольно широкое распространение. Ею можно руководствоваться при первоначальном ориентировочном выборе параметров. В процессе же последующей более тонкой наладки приходится часто использовать дополнительные расчеты по более точным методам.

Для оценки колебательности системы в замкнутом состоянии по ее частотной характеристике в разомкнутом состоянии полезно

построить линии равных значений М в плоскости или Такие кривые впервые были построены Холлом [1, 82].

Наиболее просто определяются линии обратного значения модуля для обратной амплитудно-фазовой характеристики

Обозначив получим:

Рис. 7-29.

Это — уравнение окружностей радиуса с центром в точке на вещественной оси. На рис. 7-29, а они нанесены с индексами, соответствующими значениям М. Для того, чтобы выполнялось условие обратная амплитудно-фазовая характеристика не должна входить внутрь заштрихованной области.

Уравнения линий постоянного М в плоскости получаются при помощи инверсии кривых рис. 7-29, а. Это будут также окружности с центрами на вещественной оси на расстоянии

от начала координат. Радиусы окружностей равны а точки их пересечения с осью имеют абсциссы

Окружности показаны на рис. 7-29, а. Штриховкой отмечена запретная область для амплитудно-фазовой характеристики - внутренность круга с индексом

На рис. 7-29, б показано расстояние до центра окружности, соответствующей Радиус окружности при том же значении

Более детальное развитие этот метод получил в [6].

Оценка качества по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы.

Чрезвычайно ценный практический материал для оценки качества и синтеза приведен в [77]. В приложении 4 приведены графики, взятые из [77], рассчитанные для схемы, показанной на рис. 7-30, а.

Рис. 7-30.

Если требуется исследовать другую структуру, ее следует привести к данной. Для этого можно вначале получить передаточную функцию исследуемой замкнутой системы

и сопоставить ее с передаточной функцией

полученной для схемы рис. 7-30, а (разомкнутая система, для которой построены характеристики, имеет астатизм первого

порядка). Отсюда найдем числитель и знаменатель передаточной функции эквивалентной разомкнутой системы:

т. е.

Если такое приведение невозможно (например, для статической системы), кривыми пользоваться нельзя.

Расчетами и опытом установлено, что для обеспечения приемлемого качества ЛАЧХ разомкнутой системы в окрестности частоты среза должна иметь достаточно длинный прямолинейный участок, имеющий наклон —1 лог (-20 дБ/дек). Этот участок на рис. 7-30,б, где показана типовая характеристика, для которой построены упомянутые кривые, ограничен частотами (область III). Низкочастотная асимптота ЛАЧХ (область I) имеет наклон поскольку система имеет астатизм первого порядка. Наклоны характеристики на участке II (между частотами и на участке IV (при являются параметрами для разных значений которых построены графики. Изменяемыми параметрами являются также отношение третьей сопрягающей частоты к частоте среза и величина равная значению ординаты ЛАЧХ в децибелах при первой сопрягающей частоте . На кривых в функции параметра (в логарифмическом масштабе) построены значения следующих показателей качества:

— максимальное значение (рис. 7-30, г) относительного переходного процесса в момент перерегулирования (очевидно, ); М — показатель колебательности амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы (рис. 7-30, в); отношения где — угловая частота колебательной составляющей переходной функции (ее определение пояснено на рис. 7-30,г); — частота, при которой имеет место максимум модуля частотной характеристики замкнутой системы;

значения где — время установления переходного процесса (время регулирования), определяемое из условия, что при момент времени, при котором имеет место максимальное перерегулирование.

Все показатели определены при условии, что на вход системы подано ступенчатое воздействие.

Пример 11. Анализ качества по диаграммам Г. Честната и Р. Майера.

Требуется приближенно определить значения пика амплитудной характеристики М соответствующей ему частоты а также максимального выброса относительной переходной функции и соответствующего ему времени для системы, имеющей передаточную функцию разомкнутой системы

(рис. 7-31). Из рисунка находим:

Рис. 7-31.

Значения выбраны при этом произвольно. Так как между частотами и отрезков с наклонами 40 или нет, следует выбрать график с наименьшим значением, т. е. 40—40. Используем из приложения 5 график с параметрами: наклон от до

Из этого рисунка находим:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление