Главная > Моделирование, обработка сигналов > Аналоговые и цифровые фильтры
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.2.2. Методы реализации Кауэра

Формы Фостера — не единственно возможные схемные реализации входных функций. Вообще говоря, если функция полного сопротивления и полной проводимости реализуема, существует большое, а иногда даже бесконечно большое число возможных схемных реализаций. В этом разделе мы рассмотрим методы реализации входных функций, предложенные Кауэром,

5.2.2.1. Первая форма Кауэра.

Согласно свойству 3, у входной функции степени полиномов, стоящих в числителе и знаменателе, различаются в точности на единицу. Отсюда точка является либо полюсом, либо нулем Без потери общности можем предположить, что является полюсом т. е. степень числителя на единицу больше степени знаменателя. Обозначим через полином, равный сумме числителя и знаменателя Согласно теореме есть полином Гурвица. Следовательно, будучи контрольным отношением в критерии Гурвица, имеет разложение в непрерывную дробь при так что

где — степень числителя а коэффициенты — вещественные и положительные постоянные. Чтобы исследовать эти постоянные, положим и запишем

есть вычет при полюсе Из (5.34) находим, что

Следовательно, остаточный член (5.35 а) удовлетворяет уравнению

Таким образом, можем осуществить на процедуру выделения полюса, так что

где снова

есть вычет при полюсе Если мы повторим процедуры (5.35) и (5.38) столько раз, сколько требуется, то

постоянные будут вычетами при полюсе причем

Если имеет в бесконечности не полюс, как мы предположили ранее, а нуль, положим Тогда имеет полюс в бесконечности.

Рис. 5 6. Реализация входной функции полного сопротивления первой формой Кауэра.

Теперь процедуру (5.34) или повторяющуюся процедуру (5.35) — (5.38) можно осуществить, как для предыдущего случая. При этом результирующее разложение в непрерывную дробь будет

где — степень знаменателя . В дальнейшем мы рассмотрим только (5.34); выражение (5.39) приводится лишь для справки.

Если — функция полного сопротивления, то (5.35) имеет схемную интерпретацию (рис. 5.6, а). Аналогично действие (5.38) показано на рис. 5.6, б, а следующий этап — на рис. 5.6, в. С другой стороны, если — функция полной проводимости, то схемными интерпретациями (5.35) и (5.38) являются соответственно рис. 5.7, а и

а следующий этап показан на рис. 5.7, в. Заметим, что как на рис. 5.6, так и на рис. 5.7 разложение при соответствует наращиванию схемной реализации цепочками последовательных индуктивностей и параллельных емкостей. Это так называемая первая форма Кауэра.

Рис. 5.7. Реализация входной функции полной проводимости первой формой Кауэра.

Пример 5.2. Реализовать первой формой Кауэра входную функцию пол ного сопротивления

Решение. Поскольку степень знаменателя выше, чем числителя, имеет при нуль. Поэтому осуществим разложение в непрерывную дробь при для соответствующей функции полной проводимости

Реализация заданной функции полного сопротивления эквивалентна реализации функции полной проводимости . Поскольку

можно записать в виде суммы двух членов

реализуем подсоединив конденсатор 1 Ф параллельно двухполюснику, имеющему входную функцию полного сопротивления заданную (5.43). Обнаруживаем, что в свою очередь является суммой двух членов

Следовательно, мы можем реализовать входную функцию полного сопротивления подключив индуктивность 0,1 Г последовательно с двухполюсником, характеризующимся входной функцией полной проводимости Очевидно, этот процесс можно повторять, пока мы не завершим реализацию

Рис. 5.8. Реализация по (5.40) первой формой Кауэра.

На рис. 5.8. приведена схемная реализация входной функции полного сопротивления осуществленная согласно процедуре, описанной в предыдущем абзаце. Функции для рис. 5.8. следующие:

5.2.2.2. Вторая форма Кауэра.

Разрабатывая первую форму Кауэра, мы осуществляли разложение входной функции вокруг полюса при Теперь рассмотрим случай, когда входная функция подвергается разложению вокруг полюса при

Рассмотрим входную функцию Не теряя общности, положим, имея в виду (5.8), что знаменатель — полином

нечетной степени, а числитель — полином четной степени. Тогда имеет полюс при Если положить и выделить полюс при то получим

есть вычет при полюсе остаточный член имеет нуль при Значит, имеет полюс при Следовательно, мы можем повторить предшествующую процедуру выделения полюса для при Этот процесс дает

снова имеет полюс при Подстановка (5.48) в (5.47) дает

Повторяя эту процедуру столько раз, сколько требуется, в конечном итоге получим

Если — функция полного сопротивления, то (5.47) и (5.48) иллюстрируется рис. 5.9, а и 5.9, б, а рис. 5.9, в показы иает третий этап процедуры.

С Другой стороны, если — функция полной проводимости, схемные интерпретации (5.47) и (5.48) представляются рис. 5.10, а и б, а рис. 5.10, в иллюстрирует действие третьего этапа.

Выражение (5.50) и рис. 5.9 или 5.10 составляют вторую форму Кауэра. Отметим, что во второй форме Кауэра имеется только два типа схемных элементов — последовательные емкости и параллельные индуктивности. Поскольку на активных

Рис. 5.9. Реализация входной функции полною сопротивления второй формой Кауэра.

элементах легче всего реализовать заземленные индуктивности, а не индуктивности, находящиеся под некоторым потенциалом относительно земли, вторая форма Кауэра наиболее предпочтительна для реализации входных функций в тех случаях, когда желательно, чтобы результирующий двухполюсник был заземлен.

Рис. 5.10. Реализация входной функции полной проводимости второй формой Кауэра.

Однако, как мы увидим в последующих главах, метод, применяемый для реализации некоторой входной функции, зачастую диктуется другими факторами. Среди них — требования

к нулям передачи соответствующей передаточной функции.

Как видим, (5.50) есть разложение в непрерывную дробь. Каждое ее слагаемое равно бесконечности в точке поэтому говорят, что это разложение осуществлено при точке Отметим также, что к (5.50) мы приходим через ряд операций деления и инверсии. Поэтому (5.50) можно получить методом последовательных делений. Если полиномы числителя и знаменателя расположены по убывающим степеням при каждом делении будет исключаться член наименьшей степени. Например, разложение в непрерывную дробь при для

можно осуществить следующим образом:

Заметим, что при каждой инверсии мы делим числитель и знаменатель на При этих слагаемых (обведенных на диаграмме последовательных делений кружками) разложение в непрерывную дробь при s = 0 получается такое;

Еще один метод разложения в непрерывную дробь при можно вывести, представив (5.50) в виде

где Отметим, что (5.34) и (5.53) идентичны, если заменить s на . Поэтому мы можем получить разложение в непрерывную дробь при пользуясь следующей процедурой:

1. Предполагаем, что где — полином четной степени — полином нечетной степени Пусть

2. Умножаем числитель и знаменатель на и находим

3. Осуществляем разложение в непрерывную дробь при как в (5.34).

4. Заменяем на Результат — разложение в непрерывную дробь при

Для иллюстрации этой процедуры рассмотрим функцию Чтобы найти разложение при в непрерывную дробь, выполняем следующие операции:

1. Поскольку

3. Разложение при

4. Заменив на получаем разложение в непрерывную дробь при как (5.52).

Пример Реализовать второй формой Кауэра функцию

Решение. Чтобы воспользоваться второй формой Кауэра, рассмотрим выражение

Разложение в непрерывную дробь при дает

Схемная реализация (5 57) или. что эквивалентно, (5.58) второй формой Кауэра показана на рис 5.11, где

В заключение этого раздела необходимо подчеркнуть, что реализацию входной функции можно начинать с любой из рассмотренных выше четырех форм (две формы Фостера и две формы Кауэра).

Рис. 5.11. Реализация примера 5.3 второй формой Кауэра.

Первоначальную процедуру реализации можно прервать на любом этапе и продолжить реализацию, пользуясь уже другой формой. При желании можно сколько угодно часто заменять методы реализации. В этом случае конечный результат, разумеется, не будет формой Фостера или Кауэра. Однако результирующая схема все же будет реализовать заданную входную функцию.

Пример 5.4. Реализовать входную функцию полной проводимости

используя сначала вторую форму Кауэра, а затем первую форму Кауэра.

Решение. Чтобы использовать вторую форму Кауэра, рассмотрим входную функцию с нечетным полиномом в знаменателе. Поэтому вместо заданной возьмем функцию полного сопротивления

Первый этап разложения в непрерывную дробь при дает

Схемная реализация (5.62) показана на рис. 5.12, а. Как требуют условия задачи, перейдем к реализации

первой формой Кауэра.

Рис. 5.12. Решение примера 5 4.

Поскольку последняя имеет дело с входной LC-функцией, у которой степень числителя выше степени знаменателя, мы должны работать с функцией полной проводимости

Разложение в непрерывную дробь при дает

Реализация показана на рис. 5.12, б. Схемная реализация (5.60) приведена на рис. 5.12, в.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление