Главная > Моделирование, обработка сигналов > Аналоговые и цифровые фильтры
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7.1. Лестничные схемы

В этом разделе рассматриваются лестничные RC- и LC-схемы. Типичная структура такой схемы показана на рис, 7.1.

Для исследования лестничных схем важна концепция нулей передачи. Нулем передачи называется комплексная частота

при которой передаточная функция цепи]. Для лестничных схем характерны два вида нулей передачи: это те комплексные частоты, при которых:

1. Функция полного сопротивления последовательной ветви равна бесконечности и

2. Функция полного сопротивления параллельной ветви равна нулю.

Рис. 7.1. Структура лестничной схемы.

В первом случае последовательная ветвь полностью разомкнута и, значит, сигнал через нее не проходит на выход. Во втором случае параллельная ветвь замкнута накоротко. При этом весь ток сигнала идет через эту короткозамкнутую цепь, а на выход ничего не попадает. В обоих случаях на выходе схемы тока сигнала нет. Следовательно, если входной сигнал содержит хотя бы одну из частот, соответствующих нулям передачи, в выходном сигнале (при установившемся состоянии схемы) эта частота будет отсутствовать.

7.1.1. Лестничные RC-схемы

Лестничную схему называют схемой RС-типа, если она содержит только резисторы и конденсаторы. Поскольку полюсы и нули входной RС-функции полного сопротивления лежат на отрицательной вещественной оси плоскости нули передачи лестничной RC-схемы (будучи полюсами С-функций полного сопротивления последовательных ветвей и нулями RС-функций полного сопротивления параллельных ветвей) могут лежать только на отрицательной вещественной оси плоскости . Далее, если каждая ветвь лестничной RC-схемы содержит только один элемент (резистор или конденсатор), то нуль передачи может иметь место только в двух точках: Это так, ибо каждый последовательный конденсатор может порождать нуль передачи при , а каждый параллельный конденсатор — при . Напомним, что первая форма Кауэра состоит из параллельных конденсаторов и последовательных резисторов.

Значит, первая форма Кауэра, реализующая входные RС-функции, порождает нули передачи при . С другой стороны, вторая форма Кауэра содержит параллельные резисторы и последовательные конденсаторы, так что у нее нули передачи порождаются при

Лестничные RC-схемы обладают еще одним важным свойством: полюсы передаточной функции у них тоже могут лежать только на отрицательной вещественной оси плоскости . Чтобы убедиться в этом, рассмотрим -четырехполюсник (рис. 7.2).

Рис. 7.2. RC-четырехполюсник.

Пусть этот четырехполюсник характеризуется матрицей полных сопротивлений

Тогда передаточная функция по напряжению равна

Положим

где — полиномы от Тогда (7.2) Переходит в

Условие пассивности четырехполюсника заключается в том, что не может иметь полюс, который не имелся бы Коль скоро С-четырехполюсник на рис. 7.2 пассивен, содержит все сомножители, имеющиеся . Если иметь это в виду, оказывается, что (7.4) подразумевает, что

полюсы фактически являются нулями Поскольку это входная функция полного сопротивления по отношению к зажимам RС-четырехполюсника, обозначенным нули простые, вещественные и отрицательные. Следовательно, полюсы также простые, вещественные и отрицательные. В результате имеем следующую теорему:

Теорема 7.1. Нули передачи и полюсы передаточных функций лестничных RC-схем вещественные и отрицательные, причем полюсы простые. Кроме того, если каждая ветвь лестничной С-схемы содержит конденсатор или резистор, нули передачи могут иметься только в точках . В этом случае передаточная функция выражается как

где — полином степени с простыми отрицательными вещественными корнями.

Заметим, что при если дает

Это значит, что приближается к нулю со скоростью когда . С другой стороны, когда если дает

Это показывает, что при приближается к нулю со скоростью Следовательно, передаточная функция (7.5) имеет нулей передачи при нулей передачи при

В этом разделе мы рассмотрим методы реализации трех классов передаточных -функций, соответствующих трем возможным для (7.5) случаям:

Случай все нули передачи лежат при

Случай все нули передачи лежат при

Случай нулей передачи лежат при нулей передачи — при

Все эти методы основываются на допущении, что параметры матрицы сопротивлений четырехполюсника результирующей лестничной RC-схемы имеют одинаковые знаменатели

То есть

Подставляя (7.7) в (7.4), получаем

Заметим, что из (7.8) следует, что знаменатель является числителем входной RС-функции полного сопротивления Сравнивая (7.5) и (7.8), получаем

Таким образом, для реализации передаточной функции (7.5) необходимо реализовать соответствующим образом выбранную

Рис. 7.3. Схемные конфигурации, в которых могут существовать частные полюсы.

Примеры, когда могут существовать частные полюсы, приведены на рис. 7.3. На рис. 7.3, а, если между и отсутствует сокращение полюса, полюсы будут проявляться как полюсы но не как полюсы Таким же образом полюсы будут проявляться как полюсы но не как полюсы если только между на рис. 7 3, б отсутствует сокращение полюса.

входную С-функцию полного сопротивления удовлетворяющую (7.9а) при соответствующем методе получения заданных нулей передачи, как показано в (7.5) и (7.96).

Входная функция выбирается таким образом, чтобы она удовлетворяла (7.9) и свойствам -функций полного сопротивления, выведенным в гл. 61). Это достигается просто путем выбора удовлетворяющей следующим свойствам:

Числитель задается нули являются полюсами

Полюсы простые, вещественные, отрицательные и чередуются с заданными корнями таким образом, что критическая частота ближайшая к началу координат, является полюсом, а критическая частота, ближайшая к является нулем.

. Степень знаменателя полинома устанавливается равной

Если предположить, что выбрана надлежащая входная -функция полного сопротивления то следующим этапом будет реализация этой с помощью надлежащей процедуры, обеспечивающей выполнение заданных требований к нулям передачи.

Случай 1. В этом случае все нули передачи передаточной С-функции лежат при Передаточная функция задается (7.5) при здесь мы ее запишем в виде

где имеет простые отрицательные вещественные корни. Напомним, что реализация входных -функций полного сопротивления первой формой Кауэра дает нули передачи при Следовательно, реализация передаточной функции (7.10) достигается посредством реализации выбранной первой формой Кауэра, а эта реализация включает разложение в непрерывную дробь при

Пример 7.1. Синтезировать передаточную функцию

Решение. Из (7.2) известно, что

На основе (7.12) можно выбрать разные . Ограничения лишь те, чтобы нули были при и чтобы удовлетворяла всем свойствам входной функции полного сопротивления с полиномом второго порядка в знаменателе. Проще всего принять

Ясно, что по (7.13) удовлетворяет всем требованиям, оговоренным условиями Из (7.12) и (7.13) выводим

Для реализации передаточной функции (7.11) необходимо реализовать входную функцию полного сопротивления (7.13), имея при этом уверенность, что нули передачи результирующей лестничной RC-схемы все лежат при как требует (7.11).

Рис. 7.4. Схема реализации по (7.12).

Это можно выполнить в один этап, используя для реализации по (7.13) первую форму Кауэра. Замечая, что разложение в непрерывную дробь при дается выражением

получаем схемную реализацию через (7.15), показанную на рис. 7.4, где в процессе реализации выходное напряжение берется с последнего элемента. Все нули передачи схемы рис. 7.4 лежат при где сопротивления

шунтирующих ветвей равны нулю. Следовательно, схема на рис. 7.4 реализует по по (7.14) и передаточную функцию (7.11) одновременно.

Рис. 7.5. Эквивалентная схема рис. 7.4, когда

Чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что когда равно

Когда можно видоизменить схему на рис. 7.4, как показано на рис. 7.5. Уравнения узловых напряжений следующие:

Согласно правилу Крамера

Случай 2. Второй случай реализации передаточной функции по напряжению лестничной RС-схемой — это тот, когда все нули

передаточной функции лежат при В этом случае передаточные функции имеют форму

где корни простые, отрицательные и вещественные. Поскольку реализация по второй форме Кауэра приводит к схемам, состоящим из параллельных резистивных ветвей и последовательных емкостных ветвей, порождающих нули передачи только в точке используем для реализации выбранной и одновременно передаточной функции (7.19) вторую форму Кауэра.

Пример 7.2. Реализовать функцию

Решение. Как и в случае примера (7.1), простой формой удовлетворяющей условиям является

Следовательно, можем написать

Чтобы одновременно реализовать по (7.21) и по (7.22), приводящие к заданной передаточной функции (7 20), где все нули передачи лежат в точке используем для реализации вторую форму Кауэра.

Рис. 7.6. Схема реализации по (7.20).

Этот процесс включает разложение в непрерывную дробь при

Схемная реализация передаточной функции (7.20) приведена на рис. 7.6, который представляет также реализацию по (7.21) второй формой Кауэра.

Рис. 7.7. Эквивалентная схема рис. 7.6, когда

Чтобы убедиться, что схема на рис. 7.6 реализует передаточную функцию (7.20), положим и вычислим Увых. Вывод будет справедлив, если

При схему на рис. 7.6 можно изобразить в виде рис. 7.7. Соответствующая система узловых напряжений имеет вид

Согласно правилу Крамера, получаем

Следовательно, передаточная функция схемы на рис. 7.6

Случай 3. Последний случай, который мы рассмотрим в этом разделе, это когда нули передачи имеются как при так и при . В этом случае выбранная входная С-функция полного сопротивления подвергается частичному разложению в непрерывную дробь при и частичному разложению при с тем чтобы получить заданные нули передачи. Мы можем начать с разложения любой формы. Первое разложение прекращается, когда получены требуемые нули передачи. Далее остаточная функция разлагается в другую форму Кауэра. Чтобы посмотреть, как это делается, рассмотрим пример 7.3.

Пример 7.3. Реализовать передаточную функцию по напряжению

Решение. Передаточная функция (7.24) имеет нуль передачи и еще один нуль передачи при Чтобы начать процедуру реализации, выберем в виде

и, следовательно,

Здесь мы замечаем, что по (7.25) - та же функция, что в примерах 7.1 и — другая функция. Следовательно, (7.24) нельзя реализовать ни одной из форм Кауэра. Как и предполагалось, будем использовать комбинацию этнх двух форм. Прежде всего разложим по (7.25) при чтобы выделить нуль передачи при

Рис. 7.8. Схема реализации по (7.24). а — промежуточный этап; б — окончательная схема

Поскольку при имеется только один нуль передачи, мы прекратим разложение в непрерывную дробь при как только выделим шунтирующий конденсатор. В ходе этой процедуры запишем в виде

Этот процесс иллюстрируется рис. 7.8, а. Остаточная функция полной проводимости

раскладывается во вторую форму Кауэра

Следовательно, схема, реализующая одновременно по (7.25) и по (7 26), так что получается по (7.24) с помощью выражений (7.27)- (7.29), соответствует рис. 7.8, б.

Если мы не прекращаем разложение по (7.25) первой формой Кауэра, как только выделим требуемое число конденсаторов, а прекращаем

его сразу же перед выделением следующего шунтирующего конденсатора, тогда записывается в виде

где остаточная функция полной проводимости

раскладывается при

Схемная реализация этой процедуры представлена на рис. 7 9.

Простой анализ схемы на рис. 7.9 показывает, что передаточная функция этой схемы выражается как что не соответствует требуемой передаточной функции (7.24).

Рис. 7.9 Схема, не представляющая реализацию (7.24).

Следовательно, абсолютно необходимо останавливать первый процесс реализации, как только выделено требуемое число конденсаторов.

Еще одна реализация передаточной функции (7.24) достигается путем разложения по (7.25) сперва при Разложение прекращается, как только выделен последовательный конденсатор — порождается нуль передачи при Тогда разложение остаточной функции осуществляется при Чтобы выполнить эту процедуру, разложим

а остаточную функцию полного сопротивления 2 запишем в виде

Схема, одновременно реализующая (7.25) и (7.26), так что обеспечивается по (7 24) через (7.33) и (7.34), приведена на рис. 7 10.

Рис. 7.10 Схема реализации (7 24).

Простой анализ показывает, что передаточная функция схемы на рис. 7.10 есть Следовательно, схема на рис. 7.10 действительно представляет реализацию соотношения (7.24).

Из примеров видно, что даже если выбрать одну и ту же различные методы реализации входной функции дадут разные и, следовательно, разные Заметим также, что, если даны два параметра, матрицы сопротивлений -четырехполюсника, процедуры, описанные в этом разделе, можно использовать для реализации заданного четырехполюсника.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление