Главная > Моделирование, обработка сигналов > Аналоговые и цифровые фильтры
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7.1.2. Лестничные LC-схемы

Следуя тому же порядку изложения материала, который был принят в предшествующем разделе для случая лестничных RC-схем, сформулируем следующую теорему для лестничных LC- схем:

Теорема 7.2. Все нули передачи и полюсы передаточных Функций лестничных LC-схем лежат на мнимой оси плоскости причем полюсы простые. Далее, если каждая ветвь лестничной LC-схемы содержит только один элемент (катушку индук-ивности или конденсатор), расположение нулей передачи

ограничено точками . В этом случае передаточная функция имеет вид

где — полином степени с простыми корнями, лежащими на мнимой оси, а Однако в этом случае — четные целые числа, что подразумевает, что передаточная функция по (7.35) есть четная рациональная функция [т. е. и числитель и знаменатель — четные полиномы].

Рис. 7.11. С-четырехполюсник.

Чтобы убедиться, что — четная рациональная функция, рассмотрим LC-четырехполюсник (рис. 7.11). Предположим, что этот четырехполюсник представлен матрицей сопротивлений

где Тогда можно показать, что все -параметры, а именно являются нечетными рациональными функциями. Поскольку передаточная функция

представляет собой отношение двух нечетных рациональных функций, есть четная рациональная функция.

Как и в случае лестничных RC-схем, реализация передаточной LC-функции (7.35) достигается путем реализации удобным образом выбранной входной LC-функции полного сопротивления с помощью соответствующей формы Кауэра или комбинаций двух форм Кауэра. При этом выбранная функция полного сопротивления

должна удовлетворять следующим двум условиям:

. Корни простые, чисто мнимые и чередуются с корнями таким образом, что удовлетворяет всем свойствам входной LC-функции полного сопротивления, приведенным в гл. 5.

— нечетный полином степени Этим гарантируется, что соответствующие формы Кауэра или их сочетания будут пригодны для реализации функции полного сопротивления

В этом пункте мы разделим (7.35) на три случая.

Случай Здесь все нули передачи лежат при Для реализации используется первая форма Кауэра. Причина в том, что структура первой формы Кауэра подразумевает последовательные индуктивности и параллельные емкости, а оба эти элемента приводят к нулям передачи при . Следовательно, первая форма Кауэра сама по себе одновременно реализует и связанную с ней давая передаточную функцию

Случай Здесь все нули передачи лежат при следовательно, необходимо использовать вторую форму Кауэра. Вторая форма Кауэра содержит ветви с последовательными емкостями и параллельными индуктивностями, что дает нули передачи при Следовательно, вторая форма Кауэра будет реализовать и связанную с ней давая передаточную функцию (7.35) с

Случай . В этом случае нули передачи будут иметься как при так и при Для реализации необходимо использовать комбинацию обеих форм Кауэра. Можем сперва использовать первую [вторую] форму Кауэра для выделения элементов из , а остаточную входную LC-функцию реализовать второй [первой] формой Кауэра.

Пример 7.4. Реализовать

Решение. Выберем

Из (7.37) имеем

Поскольку все нули передачи лежат при используем для реализации первую форму Кауэра.

Рис. 7.12. Схема реализации по (7 39).

С математической точки зрения это означает, что необходимо провести разложение в непрерывную дробь в точке

Схема, обеспечивающая реализацию одновременно по (7.40) и по (7.41) и дающая по (7.39) через (7.42), приведена на рис. 7 12.

Анализ схемы на рис. 7.12 показывает, что передаточная функция по напряжению равна

Следовательно, рис. 7.12 действительно представляет схемную реализацию передаточной функции (7.39).

Пример 7.5. Реализовать передаточную функцию по напряжению

Решение. Выберем

Эта удовлетворяет всем свойствам входных LC-функций полного сопротивления. Из (7.37)

Поскольку все нули передачи лежат при используем для реализации вторую форму Кауэра. Это означает разложение в непрерывную дробь при

Схемная реализация передаточной функции по (7.43), полученная путем реализации входной LC-функции полного сопротивления по (7.46) второй формой Кауэра, показана на рис. 7.13.

Рис. 7.13. Схема реализации по (7.43).

Пример 7.6. Реализовать

Решение. Простую форму для дает

В данном случае имеем

Передаточная функция (7.47) имеет два нуля передачи при и еще два нуля передачи при Чтобы одновременно реализовать эти нули передачи и можем использовать первую форму Кауэра для выделения из двух элементов, дающих два нуля передачи при , а далее реализовать остаточную функцию второй формой Кауэра, которая даст еще два нуля передачи при Для этого произведем следующее разложение:

где остаточная функция полной проводимости раскладывается во вторую форму Кауэра:

Схемная реализация этой процедуры показана на рис. 714, а.

С другой стороны, мы можем сперва реализовать второй формой Кауэра для выделения из двух элементов, дающих два нуля передачи при а затем реализовать остаточную функцию первой формой Кауэра

Рис. 7.14. Две схемы реализации по (7.47).

Это требует следующего разложения

где остаточная функция

подвергается разложению при

Схемная реализация (7.47) через (7.52) и (7.54) показана на рис. 7.14, б.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление