Главная > Моделирование, обработка сигналов > Аналоговые и цифровые фильтры
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7.3.1. Схема без потерь с односторонней нагрузкой

Положим для удобства, что на рис. 7.22, а и на рис. равны 1 Ом. Если нужно другое значение и можно произвести денормирование по сопротивлению (рассматриваемое в гл. 8) в результирующей схеме. При таком удобном упрощении (7.96) и (7.98) аналогичны, причем соответствуют Сперва детально рассмотрим случай рис. 7.22, а и (7.96), а затем в общих чертах обрисуем процедуру синтеза для случая рис. 7.22,б и (7.98).

При Ом (7.96) переходит в такую форму)

Поскольку — нечетные рациональные функции, имеющие одинаковый знаменатель, можем написать

где — нечетные полиномы, если четный полином, и, обратно, — четные полиномы, если — нечетный полином. Подставив (7.102) в (7.101), получим

Из этого выражения видно, что числитель и, следовательно, он либо нечетный, либо четный полином. Кроме того, представляет сумму полиномов, стоящих в числителе и знаменателе входной LC-функции полной проводимости Согласно теореме полином Гурвица. Это означает, что схемы на рис. 7.22, а и б могут реализовать только передаточную функцию, у которой полином, стоящий в числителе, нечетный или четный, а в знаменателе стоит полином Гурвица, так что

где — четные полиномы, нечетные полиномы, полином Гурвица. Рассмотрим сначала случай (7.104). Запишем как

Сравнение (7.106) и (7.101) дает

Аналогично, если дается (7.105), можно записать как

Сравнивая (7.109) и (7.101), получаем

Следовательно, проблема реализации передаточной функции по напряжению сводится к одновременной реализации Если равна

то задача одновременной реализации решается, как описано в разд. 7.1.2 и 7.1.3.

Пример 7.12. Реализовать

четырехполюсником без потерь с оконечной нагрузкой в виде активного зистора 1 Ом.

Решение. Поскольку числитель по -четный полином, имеет форму (7.104). Согласно запишем как

Приравнивая соответствующие члены (7.101) и (7.114), получим

Все нули передачи лежат при поэтому используем для реализации первую форму Кауэра. Это подразумевает разложение в непрерывную дробь при

Схемная реализация (7.113) через по (7.116) показана на рис. 7.23.

Рис. 7.23. Схема реализации по (7.113).

Чтобы убедиться, что схема на рис. 7.23 дает передаточную функцию по напряжению (7.113), используем уравнение делителя напряжения, с тем чтобы получить

Следовательно, что и дает требуемую функцию (-Заметим, что, когда все нули передачи лежат при для реализаций следует использовать первую форму Кауэра.

Пример 7.13. Реализовать

четырехполюсником без потерь, имеющим оконечную нагрузку в виде активного резистора 1 Ом.

Решение. Как и в примере 7.12, задача сводится к одновременной реализации

Все нули передачи (7.117) лежат при поэтому используем для реализации по (7.118) вторую форму Кауэра.

Рис. 7.24. Схема реализации по (7.117).

Схемная реализация (7.117) представлена на рис. 7.24, где разложена при

Чтобы убедиться, что схема на рис. 7.24 реализует требуемую передаточную функцию, возьмем уравнение делителя напряжения:

следовательно,

Пример 7.14. Реализовать

четырехполюсником без потерь, имеющим нагрузку в виде активного резистора Ом.

Решение. В данном случае числитель -нечетный полином. Согласно (7.109)- (7.111), можно записать как

Приравнивая соответствующие члены (7.101) и (7.121), получаем

Теперь задача сводится к одновременной реализации и Поскольку имеется один нуль передачи при и два нуля передачи при следует использовать комбинацию обеих форм Кауэра.

Вообще говоря, предпочтительно, прежде чем приступать к реализации нескольких нулей передачи, реализовать одиночный нуль передачи Поэтому реализуем сперва нуль передачи при Для этого необходимо осуществить частичное разложение в непрерывную дробь при пока не будет выделен конденсатор:

где остаточная функция полного сопротивления подлежит реализации первой формой Кауэра, с тем чтобы получить нули передачи при

Схемная реализация передаточной функции (7 120) посредством реализации как указывается (7 123) и (7.124), приведена на рис. 7.25.

Рис. 7.26. Схема реализации (7.120).

Чтобы убедиться, что схема на рис. 7.25 реализует передаточную функцию (7.120), положим и осуществим анализ схемы методом узловых напряжений. Он дает

Следовательно,

Поскольку передаточная функция данной схемы соответствует (7.125). Из сравнения (7 125) с (7.120) видно, что — постоянный множитель по (7.120); поэтому схема на рис. 7.25 реализует по

Теперь кратко рассмотрим случай на рис. 7.22, б и (7.98), который для удобства воспроизведен здесь, при

Пусть передаточная функция задана выражением

где — четные полиномы, — нечетные полиномы, — полином Гурвица. Если заданная передаточная функция по напряжению имеет форму (7.127), то задача реализации (7.127) сводится к задаче одновременной реализации

Аналогично реализация по (7.128) сводится к одновременной реализации

Процедуры реализации такие же, как рассмотренные в разд. 7.1.2.

Пример 7.15. Реализовать

схемой, имеющей структуру схемы на рис.

Рис. 7,26. Схема реализации по (7.131).

Решение. Поскольку числитель — четный полином, здесь приложимы и (7.129). Следовательно, можем записать как

Приравнивая члены (7.126) и (7.132), получаем

Поскольку все нули передачи лежат при используем для реализации первую форму Кауэра. Это означает, что подвергается разложению при

Следовательно, схемная реализация передаточной функции по (7.131) соответствует рис. 7.26.

Пример 7.16. Реализовать

четырехполюсником без потерь, имеющим оконечную нагрузку в виде резистора 1 Ом.

Рис. 7.27. Схема реализации по (7.135).

Решение. Поскольку числитель -четный полином, запишем в виде

Приравнивая члены (7.126) и (7.136), получаем

Видим, что имеется два нуля передачи при и один нуль передачи при . Вообще говоря, предпочтительно сначала реализовать один нуль передачи. Поэтому используем первую форму Кауэра для извлечения элемента из чтобы получить одиночный нуль передачи при в виде

где остаточная функция полного сопротивление

раскладывается второй формой Кауэра в виде

Результирующая схемная реализация по (7.135) показана на рис. 7.27. Пример 7.17. Реализовать схемой вида рис. 7.22, б функцию

Решение. Поскольку имеет форму (7.128), здесь приложима (7.130). Поэтому запишем в виде

Приравнивая члены (7.126) и (7.141), получаем

Поскольку все нули передачи лежат при используем для реализации вторую форму Кауэра. Разлагая при получаем

Результирующая схемная реализация (7.140) показана на рис. 7.28.

Рис. 7.28. Схема реализации по (7.140)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление