10.2.1. Биквадратное звено на одном усилителе

В настоящем разделе представляются два метода реализации биквадратных передаточных функций пассивными RC-элементами и одним активным прибором. Первый из них представлен семейством схем, каждая из которых соответствует конкретной биквадратной передаточной функции. Второй метод основан на использовании универсальной схемы, которую можно применять для реализации широкого класса биквадратных передаточных функций.

10.2.1.1. Биквадратное звено на одном усилителе. — Метод опыта.

В 1955 г. Саллен и Ки опубликовали таблицу активных RC-схем [20] (с ИНУН в качестве активного элемента в каждой схеме) для реализации передаточных функций по напряжению типа (10.86), за исключением заграждающего фильтра с передаточной функцией вида

В 1966 г. Кервин и Хьюлсман предложили схему реализации данной функции на основе иного ИНУН [21]. Здесь их результаты представлены в табличной форме табл. 10.1.

Собранные в табл. 10.1 схемы не являются окончательными для практического применения. Их необходимо подвергнуть операции денормирования по частоте и сопротивлению. Поскольку коэффициент усиления или преобразования ИНУН является безразмерной величиной, на него не влияет операция денормирования. Таким образом, нормирование по частоте сказывается только на емкостях, а нормирование по сопротивлению — на величинах и резисторов и емкостей.

Пример 10.12. Реализовать с помощью данных табл. 10.1 функцию

Решение. Нормированный вариант функции (10.89) имеет вид

где применен масштабный коэффициент по частоте, равный 10 000. По варианту А1 табл. 10.1 получаем расчетные выражения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

Рис. 10.22. Схема реализации функции (10 90) (а); схемы реализации функции (10.89) (б) и (в). (см. скан)

которые при подстановке можно переписать следующим образом:

Поскольку здесь два уравнения, а неизвестных четыре, то имеются две степени свободы. Выберем

Тогда решение (10.92) дает

Схемная реализация функции (10.90) по данным (10 93) представлена на рис. 10.22, а. Для реализации заданной функции (10.89) необходимо

для схемы рис. 10.22, а выполнить денормирование по частоте с помощью коэффициента 10 000. Результат этого представлен на рис 10.22, б, а на рис. 10.22, в показан вариант при нормировании схемы рис. 10.22, б по сопротивлению с коэффициентом 5000. В последнзм случае ИНУН реализован на операционном усилителе.

Теперь проведем некоторый анализ данных табл. 10.1. Отметим, что выходами каждой схемы табл. 10.1 является ИНУН — выход операционного усилителя. Поскольку операционный усилитель в идеальном случае имеет нулевое выходное сопротивление (практически весьма низкое выходное сопротивление при работе в нормальном линейном режиме), каждую из этих схем можно каскадно соединять с другой (включая и те, что будут рассмотрены далее) без применения развязывающих усилителей.

Применение каждого из представленных в таблице вариантов не вызывает затруднений. За исключением варианта процесс схемной реализации состоит в вычислении ряда величин сопротивлений и емкостей согласно расчетным уравнениям. Процедуру же проектирования по варианту рассмотрим ниже на примере.

Пример 10.13. Реализовать с помощью табл. 10.1 передаточную функцию

Решение. Прежде чем обращаться к табл. 10 1, нормируем функцию по частоте коэффициентом 20 000, что приведет к нормированной передаточной функции

Отметим, что она получена из функции (10.94) замещением каждой переменной s на Реализация функции (10 95) проводится по этапам:

этап этап 1) выберем . Тогда этап ; этап этап Ом, Ом; этап 5) поскольку , можно выбрать этап 6) при получим этап 7) коэффициент передачи ИНУН равен этап

Таким образом, имеем следующие величины элементов для реализации функции (10.95):

Для реализации функции (10 94) необходимо провести денормализацию по частоте емкостей в (10 96 а) на коэффициент 20 000:

Схема реализации функции (10 94) согласно (10.96) представлена на рис. 10.23, где все резисторы и емкости денормированы по сопротивлению коэффициентом 10 000.

Рис. 10.23. Схема реализации функции (10.94).

Можно показать, что процедура расчета по варианту реализует по любой из двух соответствующих схемных конфигураций передаточную функцию

где

При и величинах (10.96 а) согласно (10 97) получим

Таким образом, величины элементов по (10.96 а) обеспечивают реализацию передаточной функции (10.95). Следовательно, схемой на рис. 10 23 фактически реализуется заданная передаточная функция (10 94)

За исключением вариантов каждая схема содержит пять переменных: Однако имеется только три или четыре уравнения, куда они входят. Это приводит к многим реализациям, удовлетворяющим заданной передаточной функции по напряжению, что иллюстрируется примером 10.14.

Пример 10.14. Реализовать с помощью табл. 10.1 передаточную функцию

Решение. Можно применить схему варианта где . В данном случае имеются следующие четыре расчетных уравнения:

Поскольку здесь пять переменных, а уравнений только четыре, то имеется одна степень свободы Эту степень свободы можно использовать для установки величины одной из пяти переменных, либо для введения дополнительных уравнений Предположим, что выбран второй путь и добавляется уравнение

для получения полной системы расчетных уравнений. Необходимо отметить что система уравнений с пятью переменными (10.99) является нелинейной, а как таковая может иметь одно и только одио решение, не иметь решения иметь много решений.

Рис. 10.24. Схема реализации функции (10 98).

В данном случае имеем последнее. Например,

>

являются решениями системы уравнений (10.99). Действительно, для любой положительной величины а данные

являются решением системы. Схема реализации функции (10.98) представлена на рис. 10.24, где а — любое конечное положительное вещественное число.

Все помещенные в табл. 10.1 схемы имеют общий недостаток. В случае высокодобротных или узкополосных схем либо коэффициент передачи очень велик (пропорционален квадрату добротности), либо еще чувствительность добротности

относительно параметра велика (по меньшей мере пропорциональна добротности). Оба эти случая нежелательны. Неприемлемость последнего очевидна. Для первого случая, когда велико резко уменьшается практический частотный диапазон работы схемы. Например, при усиление ИНУН должно быть порядка 250. В этом случае рабочий диапазон частот, где ИНУН по схеме на рис. 2.5 нормально функционирует, находится в пределах коэффициента усиления операционного усилителя без обратной связи 5000 и выше.

Рис. 10 25. Амплитудно-частотная характеристика типового операционного усилителя. — коэффициент усиления операционного усилителя без обратной связи;

Согласно приведенным на рис. 10.25 данным типового операционного усилителя эта ширина рабочей полосы частот составляет примерно 200 Гц.

Для иллюстрации установленного выше общего недостатка рассмотрим вариант варианта

В варианте передаточная функция схемы равна

Предположим, что передаточная функция заданного фильтра нижних частот имеет вид

Для этого случая а расчет ведется по уравнениям

Примем

Тогда из (10.105) получим

Здесь получился весьма умеренный коэффициент передачи ИНУН. Однако из (10.103) имеем

и в результате

Таким образом, при изменении параметра на 1% добротность изменится на 300%. Очевидно, что такая схема не подходит для реализации больших добротностей.

Для варианта передаточная функция равна

Предположим, что заданный полосовой фильтр характеризуется функцией

Здесь опять имеем а расчетные уравнения имеют вид

Выбрав найдем

Последний результат показывает, что практически рабочий диапазон частот, где данная схема может удовлетворительно

работать, составляет всего что немного для полосового фильтра. В этом случае очень мала чувствительность добротности к изменениям параметра Можно показать, что