§ 104. Приведённое квадратное уравнение.

Задача. Одна сторона прямоугольника на 6 см меньше другой. Площадь его равна 40 см. Вычислить стороны прямоугольника.

Решение. Пусть большая сторона равна х см.

Тогда вторая сторона равна см, а площадь прямоугольника равна

По условию

Приведём это уравнение к нормальному виду:

Получили приведённое квадратное уравнение. Чтобы решить его, выделим в левой части квадрат двучлена. Замечая, что

дополним это выражение до полного квадрата. Прибавив к этому выражению получим квадрат двучлена Поэтому прибавим 9 к левой части уравнения и вычтем то же число. Получим:

или

Из последнего уравнения найдём:

Отсюда получим два корня уравнения:

Оба корня удовлетворяют исходному уравнению. Но по смыслу задачи для х допустимыми являются только положительные значения (и притом большие шести). Следовательно, задача имеет единственное решение: большая сторона прямоугольника равна 10 см, а меньшая см.

Решим приведённое квадратное уравнение в общем виде

Пусть дано уравнение:

Чтобы решить его, поступим так же, как и в приведённом выше примере.

Так как то, если прибавим и вычтем в левой части уравнения (1) одно и то же число получим:

Левая часть уравнения (2) неотрицательна, а относительно выражения представится три случая. Случай 1.

Из уравнения (2) находим:

и

Мы получили два корня:

Итак, в этом случае уравнение (1) имеет два корня. Формула (А) является общей формулой корней приведённого квадратного уравнения. Словами её можно выразить так:

Корни приведённого квадратного уравнения равны половине второго коэффициента, взятого с противоположным знаком, плюс-минус квадратный корень из квадрата этой половины без свободного члена.

Запомнив формулу (А), мы можем найти корни приведённого квадратного уравнения, не производя преобразований (рассмотренных на стр. 227 и 228), а просто подставив в формулу (А) данные значения

Примеры.

Здесь Вычислим сначала подкоренное выражение в формуле (А):

Уравнение имеет два решения.

Подставив в формулу (А) значения получим:

Отсюда имеем: .

Подстановкой убедимся, что корни найдены верно.

Здесь

Подставив в формулу (А) значения ряд, получим:

Корни уравнения можно найти приближённо. Положив, например,

Проверим, например, корень

Мы получили результат, близкий к нулю. Если взять корень с большей точностью, то при проверке получим результат, более близкий к нулю.

Случай 2.

Тогда уравнение (2) примет вид:

Отсюда

Итак, в этом случае уравнение имеет один корень. Пример.

Левая часть является квадратом двучлена. Имеем:

Случай 3.

Возьмём уравнение (2):

Правая часть этого уравнения — отрицательное число. Левая же часть ни при каком значении х отрицательной быть не может. Следовательно, в этом случае уравнение (1) не имеет корней.

Пример.

Здесь , и уравнение не имеет корней.

Действительно, представив уравнение в виде

замечаем, что левая часть ни при каком значении х не может стать отрицательной. Следовательно, уравнение не имеет корней.