Главная > Математика > Алгебра. Учебник для 6-8 классов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 15. Вычитание рациональных чисел.

Вычитание определяется как действие, обратное сложению.

Вычесть из одного числа другое — значит найти такое третье число, которое, будучи сложено со вторым числом, даст первое число.

Другими словами, вычесть из какого-либо числа а число — значит найти такое третье число с, чтобы было справедливо равенство:

Например:

Чтобы вывести общее правило вычитания для любых рациональных чисел, поступим следующим образом. Заменим в предыдущих примерах вычитание прибавлением числа, противоположного вычитаемому. Получим:

Как видим, мы получили те же результаты, что и при вычитании. Следовательно, можно ввести правило:

Чтобы из одного числа вычесть другое, достаточно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому:

Докажем это правило.

Нам надо доказать справедливость равенства

при любых

Если выражение в правой части является разностью чисел то, сложив его с вычитаемым мы должны получить уменьшаемое а.

Проверим это; сложив и получим:

По сочетательному закону сложения это выражение запишем так:

Но сумма в квадратных скобках равна нулю, как сумма двух противоположных чисел.

Следовательно, будем иметь:

Получили уменьшаемое. Значит, равенство (1) верно.

Приведённое правило заменяет вычитание сложением, а правило сложения нам уже известно.

Итак, оказалось, что вычитание одного рационального числа из другого можно заменить сложением двух рациональных чисел. Но сложение двух рациональных чисел всегда возможно и даёт единственный результат (§ 12). Значит, мы можем заключить, что в множестве

рациональных чисел вычитание всегда возможно и даёт единственный результат (как говорят, однозначно).

В арифметике, где действия выполнялись лишь над положительными числами, вычитание было не всегда возможно (например, из 5 нельзя вычесть 6), а теперь, когда мы ввели отрицательные числа, вычитание в множестве рациональных чисел стало всегда возможным.

Известные из арифметики свойства вычитания остаются в силе для любых рациональных чисел. Напомним эти свойства.

1. Прибавление разности.

Чтобы прибавить разность, можно прибавить уменьшаемое и от результата отнять вычитаемое.

Например:

Значит,

В общем виде это свойство можно записать так:

2. Вычитание суммы.

Чтобы вычесть сумму нескольких чисел, можно вычесть первое слагаемое, из результата вычесть второе и так далее до конца.

Пример.

3. Вычитание разности.

Чтобы вычесть разность, можно вычесть уменьшаемое и к результату прибавить вычитаемое.

Пример.

и

В общем виде:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление