Главная > Математика > Алгебра. Учебник для 6-8 классов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 51. Общие указания к решению уравнений.

Во многих случаях решение уравнения сводится к тому, что мы данное уравнение заменяем другим, ему равносильным, но более простым, это другое заменяем третьим и так продолжаем до тех пор, пока не получим самое простое уравнение вида , которое прямо указывает, что неизвестное должно быть равно числу а. Следовательно, должно быть корнем и всех предыдущих равносильных ему уравнений, в том числе и данного.

Возьмём несколько уравнений и проследим, какие преобразования приходится над ними производить, чтобы прийти к простейшему уравнению.

Решим уравнение:

1) Сделаем коэффициенты всех членов целыми числами. Для этого умножим каждый член уравнения на 12. Произведя сокращения, получим:

2) Чтобы отделить члены, содержащие неизвестное, и свободные члены, раскроем скобки:

3) Сгруппируем теперь в одной части члены, содержащие неизвестное, в другой — свободные члены.

4) Упростим уравнение, приведя подобные члены:

5) Разделим обе его части на 22. Получим:

Корнем этого уравнения, а следовательно, и всех предыдущих является 7.

Предлагаем учащимся проверить корень, подставив в каждое из полученных уравнений и убедиться, что 7 является корнем всех этих уравнений.

Из рассмотренного примера видно, что к решению уравнения первой степени можно дать такие указания:

1. Привести уравнение к уравнению с целыми коэффициентами.

2. Раскрыть скобки.

3. Сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной части уравнения, а свободные члены — в другой.

4. Привести подобные члены.

5. Если коэффициент при неизвестном не нуль, то разделить на него обе части уравнения.

Но эти указания ни в коей мере не будут являться обязательными для всякого уравнения.

Во-первых, при решении многих более простых уравнений приходится начинать не с первого, а со второго, третьего и даже сразу с пятого этапа.

Во-вторых, при решении некоторые промежуточные этапы могут оказаться ненужными.

Пример.

Умножив обе части уравнения на 12, получим уравнение с целыми коэффициентами:

и сразу переходим к третьему этапу:

Откуда

Раскрывать скобки здесь не пришлось.

В-третьих (и это главное), иногда бывает выгоднее нарушить указанный порядок, если уравнение решается проще и короче.

Примеры.

Здесь следует, не раскрывая скобок, сначала разделить обе части на 7:

Уравнение решается в два действия.

Решение по схеме потребовало бы четырёх действий (два умножения, сложение и деление).

Здесь выгоднее сразу начать с третьего этапа, так как видно, что после приведения подобных членов коэффициент при х будет целым.

Ещё лучше одновременно выполнить третий и четвёртый этапы, то есть вычесть в уме у из у и 3 из 87, и сразу записать:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление