Главная > Математика > Алгебра. Учебник для 6-8 классов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 84. Система трёх уравнений с тремя неизвестными.

Присоединим к уравнениям

третье уравнение:

Получили систему трёх уравнений с тремя неизвестными.

Прежде всего заметим, что все свойства, о которых говорилось в § 48, остаются справедливыми и для системы уравнений с тремя (и более) неизвестными. Поэтому для решения данной системы применимы те же способы, что и для решения системы двух уравнений с двумя неизвестными.

1. Способ алгебраического сложения.

Так как уравнение (3) уже не содержит х, то исключим х из системы уравнений (1) и (2). Для этого умножим обе части уравнения (2) на 15. Получим систему:

Коэффициенты при х равны. Вычтем из первого уравнения второе, тогда получим:

Получили уравнение с двумя неизвестными у и Вместе с уравнением (3) оно образует систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Решив её одним из способов, изложенных в § 80, найдём:

Подставив эти значения в (1) или (2) уравнение, найдём:

Итак, если данная система трёх уравнений с тремя неизвестными имеет решение, то это решение будет следующей тройкой чисел:

Подставляя эти значения в данную систем), можно убедиться, что полученная тройка чисел является решением системы.

2. Способ подстановки.

Для данной системы этот способ более удобен, так как в уравнении (3) неизвестное уже выражено через у. Сделав подстановку в уравнения (1) и (2), получим:

или

Решим эту систему любым способом, изложенным в § 80, например способом алгебраического сложения.

Умножим уравнение (5) на 15 и вычтем из него уравнение (4):

Отсюда найдём:

Подставив найденное значение у в уравнение (5), найдём: Наконец, подставив значение у в (3), найдём: Получили то же решение, что и первым способом.

Решим ещё систему способом алгебраического сложения:

Исключим одно из неизвестных, например Для этого сложим первое и второе уравнения, получим:

Умножим теперь второе уравнение на 2 и сложим с третьим, получим:

Оба полученных уравнения образуют систему уравнений с двумя неизвестными:

Решив её одним из известных способов, найдём: Подставив эти значения в одно из данных уравнений, например в первое, найдём: Итак, если данная система имеет решение, то оно может быть только такое: Подставив эти значения во второе и третье уравнения, убедимся, что они действительно дают решение данной системы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление