Главная > Моделирование, обработка сигналов > Введение в цифровую фильтрацию
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.5. Представление дискретизованных сигналов в комплексной плоскости

Для (преобразования Лапласа обычной дискретизованной экспоненты

полюсы находятся из условия

что эквивалентно

или

Эти результаты изображаются на плоскости 5 (фиг. 2.6) полюсом который соответствует непрерывному сигналу, и множеством дополнительных полюсов, расположенных одной линии через интервал Этот интервал соответствует частоте дискретизации заданной соотношением

Поскольку функция содержит бесконечное число полюсов, ее можно записать в общем виде с помощью суммы

где — полюсы, а коэффициенты являются вычетами в полюсах. В случае когда «представляется отношением полиномов

вычет в простом полюсе определяется выражением

Вычет (2.16)

Применяя это соотношение к получим

Отсюда вычет для всех

Фиг. 2.6. Расположение полюсов для дискретизованной экспоненты.

Следовательно,

Для полного непрерывного сигнала

преобразование Лапласа записывается в виде

Фиг. 2. 7. Расположение нулей и полюсов и частотный спектр непрерывного сигнала.

После приведения к общему знаменателю получим

где числитель дает нули показанные на фиг. 2.7.

Нули — это такие значения при которых сумма составляющих превращается в нуль. Отметим, что частотный спектр можно получить, вычисляя в виде суммы или произведения на мнимой оси в плоскости 5.

Если теперь дискретизовать сигнал то соответствующее ему преобразование Лапласа будет иметь вид

В плоскости каждая составляющая сигнала представляется множеством полюсов, расположенных на одной линии через интервалы Следовательно, полюсы расположены так же, как и полюсы но повторяются с интервалом (фиг. 2.8, а).

Фиг. 2.8. Расположение нулей и полюсов и частотный спектр дискретизованного сигнала, а — расположение нулей и полюсов; — частотный спектр, получаемый на мнимой оси.

Каждый член суммы (2.22) можно представить в виде ряда, что дает

Таким образом, эффект дискретизации состоит в том, что конфигурация нулей и полюсов дискретизованного сигнала является суммой конфигураций нулей и полюсов исходного сигнала, повторяющихся в плоскости через интервалы Следовательно, частотный спектр, оцениваемый на мнимой оси, является суммоц исходных спектров расположенных через интервалы (фиг. 2.8, б). Когда повторяющиеся конфигурации нулей и полюсов складываются, полюсы оказываются в тех же точках, где они были в конфигурации исходного сигнала, а нули занимают другие положения: они оказываются в точках, в которых сумма повторяющихся конфигураций равна нулю.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление