Главная > Разное > Теория систем автоматического регулирования
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7.2. Непосредственное решение исходного дифференциального уравнения

Пусть система автоматического регулирования описывается линейным дифференциальным уравнением с правой частью

Для отыскания полного решения этого дифференциального уравнения необходимо найти частное или вынужденное решение уравнения с правой частью и определить корни характеристического уравнения

Как указывалось выше, полное решение будет иметь вид

Дальнейшим шагом является отыскание произвольных постоянных интегрирования . Для этой цели используются начальные условия: при Начальные

условия накладываются на основании физических соображений или находятся из дифференциального уравнения (7.4). Дифференцируя уравнение (7.5) по времени раз и используя начальные условия, получают алгебраических уравнений, куда входят неизвестных постоянных интегрирования. Совместное решение этих уравнений дает возможность определить искомые постоянные интегрирования

Операции вычисления корней и совместного решения алгебраических уравнений являются трудоемкими. Это особенно относится ко второй операции, так как вычисление корней может быть сделано довольно быстро приближенными методами. В связи с этим использование этого метода построения кривой переходного процесса ограничивается случаем сравнительно невысокого порядка дифференциального уравнения, обычно не выше третьего.

Расчеты получаются более простыми в том случае, когда правая часть (7.4) равна нулю, т. е. имеется однородное дифференциальное уравнение. Тогда частное решение равно нулю и полное решение (7.5) приобретает более простой вид:

В этом случае переходный процесс определяется только видом корней и начальными условиями. В табл. 7.1 для этого случая приведены формулы для получающегося переходного процесса при различных степенях дифференциального уравнения (от 1 до 3) и корнях различного вида.

Таблица 7.1

В таблице приняты следующие обозначения: — абсолютные значения вещественных некратных корней; у и X — абсолютные значения вещественной и мнимой частей комплексного корня; — начальное значение исследуемой координаты; — начальное значения скорости изменения исследуемой координаты; — начальное значение ускорения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление