Главная > Разное > Основные принципы классической механики и классической теории поля
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

11.2. Периодическая система с несколькими степенями свободы

Периодической системой с несколькими степенями свободы мы будем называть такую систему, движение которой описывается ортогональными декартовыми координатами, являющимися — в обобщение соотношений (11.4) или

(11.10)- многопериодическими функциями:

При этом имеет место следующее обобщение равенства (11.3):

где а величины та, представляют собой периоды изменения переменных

По аналогии с (11.5) представим функцию кратным рядом Фурье:

С учетом равенств (11.12) это разложение можно записать как

(здесь все фазовые постоянные соответствующим образом включены в коэффициенты )

В общем случае кратный ряд Фурье (11.14) уже не представляет периодическую по времени функцию, хотя каждая отдельно взятая экспонента является периодической. Периодичность будет иметь место лишь тогда, когда частоты относятся одна к другой как целые числа. Поэтому системы с несколькими степенями свободы называют условно периодическими системами.

Количество частот, относящихся как целые числа, определяет степень вырожденности системы. Если таких частот нет, то система невырожденна. Если все частоты связаны рациональными отношениями, то система называется полностью вырожденной; в этом случае мы имеем дело с периодической функцией от времени.

Обсуждавшаяся выше задача Кеплера дает пример вырожденной системы с двумя степенями свободы (независимые координаты в которой существует лишь одна частота. Наложением некоторого возмущения можно устранить вырожденность, причем возникнет движение по розетке.

В качестве примера условно периодической системы приведем анизотропный гармонический осциллятор, т. е. материальную точку, для которой упругие постоянные по направлениям различных декартовых осей различны. Траектория такой точки представляет собой фигуру Лиссажу, это незамкнутая кривая, плотно покрывающая определяемую амплитудами

область. Движение становится периодическим лишь в случае вырожденности.

Механическая система может совершать периодическое движение, только будучи консервативной; это следует из энергетических соображений. Поэтому в дальнейшем мы примем, что

При исследовании периодического движения удобно пользоваться каноническим преобразованием.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление