22.2. Собственные (непрерывные) преобразования Лоренца

В теории Нётер принципиальную роль играют преобразования двух различных видов. Это, во-первых, преобразования координат, влекущие за собой преобразования полевых функций которые являются геометрическими объектами (тензорами, спинорами, биспинорами) со строго определенными трансформационными свойствами. Во-вторых, существуют преобразования, которые при фиксированных координатах изменяют вид функциональных зависимостей. Последние мы будем называть функциональными преобразованиями-, они включают калибровочные преобразования, фазовые преобразования и т. п.

В теории Нётер, где речь идет о непрерывных симметриях (в отличие от упомянутых выше дискретных симметрий),

преобразования обоих видов ограничены частным случаем бесконечно малых преобразований, что вносит некоторые математические упрощения.

Как правило, мы будем обозначать преобразования координат штрихом при индексе, а функциональные преобразования — тильдой (волной) над соответствующей буквой.

В предшествующих разделах этой части мы использовали в качестве пространственно - временных координат галилеевы координаты. Тем самым мы сознательно ориентировались на инерциальную систему отсчета, в которой должны были описываться физические процессы. Как известно, при использовании галилеевых координат переход от одной инерциальной системы к другой осуществляется посредством преобразований Лоренца, при помощи которых формулируется специальный принцип относительности.

Поскольку эйнштейновская теория гравитации (1915 г.) принципиально использует искривленное пространство - время, в котором нельзя применять галилеевы координаты, гравитация остается за рамками нашего изложения. Для того чтобы охватить ее, потребовался бы математический аппарат общей теории относительности (А. Эйнштейн, 1915 г.), который основывается на общем принципе относительности и в котором физические процессы описываются в криволинейных координатах.

В специальной теории относительности основными преобразованиями координат являются однородные и неоднородные преобразования Лоренца. Совокупность этих двух групп преобразований носит название группы Пуанкаре.

В общем случае однородные и неоднородные преобразования Лоренца (и те, и другие являются линейными) могут быть совместно записаны в следующем виде:

Постоянные множители

называются коэффициентами Лоренца. Они определяют однородные преобразования Лоренца (лоренцевы повороты). Дополнительные постоянные слагаемые, наличие которых характеризует неоднородные преобразования Лоренца, описывают пространственно - временные сдвиги.

Поскольку преобразования Лоренца оставляют метрику неизменной, они в силу формулы преобразования метрического тензора (16.37)

удовлетворяют дифференциальным уравнениям

Переход к соответствующему уравнению для определителей приводит к следующему результату:

Собственные (непрерывные) преобразования Лоренца определяются условием

Рассмотрим его несколько подробнее. В то время как первое условие математически (но не обязательно физически) выделяет непрерывные преобразования, второе гарантирует сохранение исходного направления времени.

Тот факт, что метрический тензор инвариантен относительно пространственно - временных сдвигов (а), означает однородность пространства - времени, а тот факт, что этот тензор инвариантен относительно пространственно - временных поворотов истолковывается как изотропность пространства - времени.

В случае бесконечно малых пребразований Лоренца

(здесь использован тензор Кронекера являются бесконечно малыми).

Эти формулы можно проверить, подставив их в соотношения (22.4):

Подстановка выражений (22.7) в уравнения (22.4) приводит к условию антисимметрии

при этом используют обычные правила поднимания и опускания индексов, например

Тогда собственные преобразования Лоренца (22.1) записываются в следующем виде:

Шестнадцать коэффициентов Лоренца связаны десятью условиями (22.4), так что из них остается всего шесть независимых. Это еще раз весьма наглядно демонстрируется шестью не зависящими друг от друга величинами:

которые называются бесконечно малыми параметрами лоренцевых поворотов.

Введенные выше шесть независимых величин описывают:

три независимые величины — чисто пространственные повороты,

три независимые величины — пространственно - временные

повороты (равномерное поступательное движение).

Сюда добавляются еще четыре независимые величины, описывающие пространственно - временные сдвиги, а именно:

три независимые величины — пространственные сдвиги,

одна независимая величина — временной сдвиг.

Теперь представляется целесообразным привести некоторые сведения о тензорах.

Тензор представляет собой геометрический объект, который обладает строго определенными трансформационными свойствами при преобразовании координат, например при преобразовании Лоренца (переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой инерциальной системе, совершающей относительно первой равномерное поступательное движение). Число индексов называется рангом тензора. Нижние индексы называются ковариантными, верхние — контравариантными. Если операция сложения тензоров должна быть ковариантна, то складывать можно только тензоры с одинаковой «картиной» индексов.

Ковариантные индексы преобразуются по правилу

а контравариантные — по правилу

В данной записи указаны аргументы, относящиеся к соответствующей системе координат. Эти заранее обусловленные аргументы мы часто будем просто опускать. Конечно, если на их место следует поставить иные аргументы, то во избежание недоразумений их нужно выписать в явном виде.

Для бесконечно малых преобразований Лоренца указанные выше правила в силу соотношений (22.7) принимают вид

Формулы преобразования спиноров или биспиноров при конечных преобразованиях Лоренца достаточно сложны (эта тема подробно изложена в нашей монографии (Шмутцер [1])). При бесконечно малых преобразования Лоренца для биспиноров и сопряженных биспиноров получаются вполне обозримые формулы преобразования

При этом матрица следующим образом строится из матриц Дирака

Обобщая соотношения (22.14) — (22.17) на произвольные полевые функции запишем

Итак, дополнительный член, обусловленный бесконечно малым преобразованием, пропорционален бесконечно малым коэффициентам Лоренца. Постоянная зависит от характера рассматриваемого геометрического объекта. В силу условия антисимметрии (22.9) можно без потери общности считать, что

Сравнение (22.19) с (22.14) дает соотношение для тензоров

а с (22.16) — для биспиноров