Главная > Разное > Основные принципы классической механики и классической теории поля
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

25. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ К СИСТЕМЕ МАКСВЕЛЛОВСКОГО И КЛЕЙН-ГОРДОНОВСКОГО ПОЛЕЙ

Обозначим комплексную волновую функцию клейн - гордоновского поля через , а 4-потенциал максвелловского поля через (как в разд. 16) и заметим, что тензор электромагнитного поля связан с 4-потенциалом следующим образом:

Тогда плотность лагранжиана для нашей системы двух полей будет выглядеть так:

где масса покоя. При этом 4-потенциал, согласно равенству (16.36), образуется векторным потенциалом А и скалярным потенциалом

а тензор электромагнитного поля выражается через компоненты напряженности и электрического и магнитного полей:

Система уравнений Максвелла с циклической перестановкой индексов

в трехмерной записи имеющая вид

тождественно удовлетворяется в силу зависимостей (25.1). (Заметим, что в трехмерной записи соотношения (25.1) выглядят так:

)

Плотность лагранжиана (25.2) является вещественной величиной:

Для дальнейших вычислений прежде всего перепишем выражение (25.2) в трехмерной форме, полагая

Дифференцируя это выражение, получаем следующие соотношения:

Для того чтобы не утратить общей перспективы, еще раз отдельно выпишем канонически сопряженные переменные:

Таким образом, для скалярного потенциала не существует канонически сопряженной функции импульса. Из данного результата вытекают далеко идущие следствия для квантовой электродинамики, но мы не имеем здесь возможности заниматься этими вопросами.

Уравнение Лагранжа (19.12) разбивается теперь на три уравнения:

Подстановка в уравнение (25.20) выражений, комплексно сопряженных выражениям (25.9) и (25.10), дает уравнение Клейна — Гордона

Уравнение (25.19) при этом переходит в уравнение Клейна-Гордона для комплексно сопряженной функции.

Введем сокращенное обозначение

для 4-вектора плотности электрического тока, отвечающего клейн - гордоновскому полю тогда из уравнения (25.21) получится система неоднородных уравнений Максвелла

Переходя к трехмерной записи и полагая

получим известные уравнения Максвелла

Теперь по формуле (20.5) вычислим плотность гамильтониана

При помощи соотношений (25.12) и (25.16) можно придать этому выражению надлежащую форму:

при этом было использовано тождество

Дифференцируя, получаем формулы

Уравнения Гамильтона (20.19) принимают следующий вид:

Если в уравнение (25.38) подставить выражение (25.32) и использовать формулу (25.12), то получится тождество. Подстановка (25.30) и (25.31) в (25.39) дает

При помощи формулы (25.12) это уравнение переходит в уравнение Клейна — Гордона для комплексно сопряженной функции

Уравнение (25.40) с учетом равенства (25.35) приводит к уже известному нам соотношению

уравнение же (25.41) никак далее не используется.

Уравнение (25.42) при подстановке в него выражений (25.33) и (25.34) превращается в уравнение Максвелла

а из уравнения (25.43) и формулы (25.12) следует, что

В соответствии с соотношением (25.25) плотность заряда для клейн - гордоновского поля определяется по формуле

и поэтому в силу равенства (25.16) уравнение (25.48) записывается так:

Поскольку для максвелловского поля в качестве исходных полевых функций задаются А и а В определяется равенством , откуда следует, что

и поскольку применение оператора rot к уравнению (25.46) приводит к уравнению

мы можем утверждать, что уравнения Гамильтона соответствуют уравнениям комбинированного поля Максвелла - Клейна — Гордона.

Исследуем теперь симметрии этого поля. В силу инвариантности плотности лагранжиана (25.2) при неоднородных преобразованиях Лоренца имеют место закон сохранения энергии - импульса (22.78) (соответственно (22.89)) и закон сохранения момента импульса и скорости центра масс (22.83) (соответственно (22.91)). Общие теоретические закономерности мы установили выше, так что дальше ими можно не заниматься. Найдем только тензоры энергии - импульса (22.66) и (22.88), получив тем самым наиболее существенную информацию.

Канонический тензор энергии - импульса (22.66) имеет теперь вид

Подставим в эту формулу выражения (25.10) и (25.14), что даст

Чтобы получить симметричный тензор энергии - импульса (22.88), следует прежде всего вычислить величины (22.79). Поскольку клейн - гордоновское поле является скалярным, соответствующие коэффициенты обращаются в нуль, так что в сумму (22.79) входит только 4-потенциал:

Для тензоров выполняется соотношение (22.21), и поэтому

Теперь подставим этот результат в формулу (22.88) и, согласно (25.24), сразу же получим

Замена его выражением (25.23) приводит к окончательному выражению симметричного тензора энергии - импульса:

Электромагнитная часть этого тензора

называется тензором Минковского.

Особый интерес представляет плотность энергии

Вычитая это выражение из выражения (25.27) и используя формулу (25.49), получаем

Таким образом, плотность энергии отличается от плотности гамильтониана дивергенциальным членом. Когда этот член обращается в нуль при интегрировании по пространству, функция Гамильтона равняется энергии системы полей.

В заключение рассмотрим калибровочную симметрию единственный вид симметрии этих полей, который нам еще осталось исследовать.

Плотность лагранжиана очевидным образом инвариантна относительно калибровочного преобразования

где — вещественная калибровочная функция.

Для бесконечно малой имеем

или

Применительно к этому случаю дифференциальный закон сохранения (22,60) в силу равенства принимает

следующий конкретный вид:

Подставляя сюда значения определяемые формулами (25.10), (25.14) и (25.64) соответственно, и вводя величину согласно формуле (25.23), получаем

Таким образом, из условия калибровочной симметрии следует закон сохранения заряда.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление