Главная > Разное > Кривые и поверхности на экране компьютера
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.3.2. Кубические В-сплайны

Определение В-сплайнов

В-сплайном нулевой степени, построенным на числовой прямой по сетке называется функция вида

В-стайн степени построенный на числовой прямой по сетке определяется посредством рекуррентной формулы

Графики -сплайнов 1-й - и 2-й - — степеней представлены соответственно на рис. 1.17 и 1.18.

В-сплайн произвольной степени к Цожет быть отличен от нуля только на некотором отрезке (определяемом к узлами).

Рис. 1.17

Кубические -сплайны удобнее нумеровать так, чтобы сплайн был отличен от нуля на отрезке

Приведем формулу для кубического сплайна 3-й степени для случая равномерной сетки (с шагом ). Имеем:

Функция

а) дважды непрерывно дифференцируема на отрезке то есть принадлежит классу

б) отлична от нуля только на четырех последовательных отрезках

Отрезок называется носителем функции

Рис. 1.18.

Типичный график кубического -сплайна представлен на рис. 1.19.

Дополним сетку со вспомогательными узлами

взятыми совершенно произвольно.

По расширенной сетке

можно построить семейство из кубических -сплайнов:

Рис. 1.19

Это семейство образует базис в пространстве кубических сплайнов на отрезке Тем самым произвольный кубический сплайн построенный на отрезке по сетке из может быть представлен на этом отрезке в виде линейной комбинации

Условиями задачи коэффициенты этого разложения определяются однозначно.

В случае, когда заданы значения функции в ухтах сетки и значения производной функции на концах сетки (задача интерполяции с граничными условиями 1-го рода), эти коэффициенты вычисляются из системы следующего вида:

После исключения величин получается линейная система с неизвестными и -диагональной матрицей. Условие

обеспечивает диагональное преобладание и, значит, возможность применения метода прогонки для ее разрешения.

Замечания:

1. Линейные системы аналогичного вида возникают при рассмотрении и других задач интерполяции.

2. В сравнении с алгоритмами, описанными в 1.1, применение -сплайнов в задачах интерполяции позволяет уменьшить объем хранимой информации, то есть существенно снизить требования к объему памяти компьютера, хотя и приводит к увеличению числа операций.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление