Главная > Разное > Кривые и поверхности на экране компьютера
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.1.5. Свойства интерполяционного бикубического сплайна

А. Аппроксимационное свойство

В приложениях часто требуется приблизить сплайном функцию, заданную аналитически,

Например, такая задача возникает в случае, когда вычисление значений заданной функции в точках прямоугольника связано со значительными трудностями.

Задача интерполяции функции. Построить в прямоугольнике бикубический сплайн совпадающий в узлах сетки с заданной функцией

Аппроксимационные свойства построенного интерполяционного бикубического сплайна зависят от гладкости интерполируемой функции .

Например, если функция принадлежит классу то

где

(здесь шаги сетки по х и по у соответственно).

Если же функция принадлежит классу то порядок аппроксимации гораздо выше:

Замечание

Приведенные формулы оценивают порядок погрешности аппроксимации заданной функции бикубическим стайном при и справедливы при любых соотношениях между Если же потребовать дополнительно, чтобы при отношение оставалось ограниченным, то порядок аппроксимации возрастет на единицу,

Б. Экстремальное свойство

По аналогии с одномерным случаем рассмотрим следующую вариационную задачу.

Пусть заданный прямоугольник.

Задача. Среди всех функций, принадлежащих классу и принимающих в узлах сетки

заданные значения

найти такую, которая доставляет минимум функционалу

Для того чтобы сформулированная задача имела единственное решение, необходимы дополнительные условия. Укажем некоторые варианты таких условий.

1. Если потребовать, чтобы допустимые функции удовлетворяли условиям

то решение вариационной задачи будет однозначно определено и этим решением будет интерполяционный бикубический сплайн.

2. Если потребовать, чтобы допустимые функции удовлетворяли граничным условиям вида

то решение вариационной задачи будет однозначно определено и этим решением будет интерполяционный бикубический сплайн.

3. Если потребовать, чтобы допустимые функции были двоякопериодическими функциями с периодами то решение вариационной задачи будет однозначно определено и этим решением будет двоякопериодический интерполяционный бикубический сплайн.

Замечание

Перечисленные выше сплайны являются решением сформулированной вариационной задачи в гораздо более широком классе функций, а именно в классе

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление