Главная > Разное > Кривые и поверхности на экране компьютера
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.1.7. Составные кривые

Часто кривую приходится строить из определенным образом подобранных частей. Для того чтобы получающаяся в результате составная кривая имела достаточно хорошие геометрические характеристики,

важна не только регулярность составляющих ее частичных кривых, но и выполнение определенных требований в стыковочных . Пусть

- параметрические уравнения гладких, кривых соответственно.

Требование 1

Для того чтобы составная кривая была непрерывна, необходимо, чтобы правый конец кривой совпадал с левым концом кривой

(рис. 3.7).

Рис. 3.7

При построении составных кривых важно помнить, что, с одной стороны, кривая как множество точек может иметь прекрасные геометрические характеристики, но описываться сравнительно плохими параметрическими уравнениями, а с другой - хорошие дифференциальные свойства координатных функций кривой не всегда приводят к регулярной кривой.

Поясним сказанное несколькими примерами.

Внимание: примеры!

Пример 1. Составная кривая задана параметрическими уравнениями

(рис. 3.8).

Рис. 3.8.

Результат: составная кривая - прямолинейный отрезок, касательные векторы в обшей точке не совпадают,

Причина особенности: несогласованность параметризаций в точке стыковки кривых.

Требование 2

Пример 2. Составная кривая задана параметрическими уравнениями

(рис. 3.9).

Результат: составная кривая имеет излом, касательные векторы в общей точке равны,

Рис. 3.9

Рис. 3.10

Причина особенности: неудачная параметризация стыкующихся кривых - касательные векторы в точке стыковки равны нулю.

Пример 3. Составная кривая задана параметрическими уравнениями

(рис. 3.10).

Результат: составная кривая - круговая двузвенная ломаная, касательные векторы в точке стыка нулевые, вторые производные радиусов-векторов в точке стыка нулевые, векторы кривизны в точке стыковки различны,

Причина особенности: несогласованность параметризаций стыкуемых кривых.

Пример 4. Составная кривая задана параметрическими уравнениями

(рис. 3.11).

Рис. 3.11

Результат: составная кривая - полуокружность, касательные векторы в точке стыка различны,

вторые производные радиусов-векторов в точке стыка различны,

векторы кривизны в точке стыковки одинаковы,

Причина особенности: один из касательных векторов в точке стыковки нулевой.

Требование 3

Пример 5. Составная кривая задана параметрическими уравнениями

Рис. 3.12

Результат: касательные векторы в точке стыковки равные и не нулевые,

вторые производные радиусов-векторов в точке стыковки не нулевые и неравные,

векторы кривизны в точке стыковки равны,

Причина особенности: несогласованность параметризаций состыкованных кривых.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление