Главная > Разное > Кривые и поверхности на экране компьютера
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.2.3. Составные кривые Безье

В этом подразделе мы подробно останавливаемся на построении составных кубических кривых Безье. Именно такие кривые наиболее часто используются в приложениях. Составные кривые Безье других степеней конструируются по аналогичной схеме.

Составная кубическая кривая Безье - это - непрерывная кривая у, являющаяся объединением элементарных кубических кривых Безье

Сказанное означает, что концевая точка кривой совпадает с начальной точкой кривой Если кривая задается параметрическим уравнением вида

то это условие записывается так:

Условия гладкости составной кубической кривой Безье

Для того чтобы составная кубическая кривая Безье, определяемая набором была

Рис. 3.17

1) - непрерывной кривой, необходимо, чтобы тройки вершин

были коллинеарны (лежали на одной прямой) (рис. 3.17);

2) - непрерывной кривой, необходимо, чтобы пятерки вершин

были компланарны (лежали в одной плоскости).

Условия замкнутости составной кривой Безье

Для того чтобы составная кубическая кривая Безье, определяемая набором вершин

была замкнутой - непрерывной кривой, необходимы совпадение вершин и коллинеарность тройки (рис. 3.18).

Рис. 3.18

Единая параметризация

Рассматривая составную кривую у как целое, более естественно пользоваться единой параметризацией

где

параметрическое векторное уравнение элементарной кривой Безье

Выбор промежутка и частичных сегментов

на нем заслуживает отдельного рассмотрения.

Простейший способ - положить часто вполне удобен. Если же такое (равномерное) разбиение промежутка изменения параметра оказывается слишком грубым, то для выбора узлов применяются другие подходы.

Опишем один из способов выбора узлов на промежутке изменения параметра для массива, в котором каждые 3 вершины

лежат на одной прямой (коллинеарны). В этом случае составная кубическая кривая Безье будет иметь вид, указанный на рис. 3.17 (касательная изменяется вдоль кривой непрерывно). Выберем последовательность узлов по следующему правилу:

Относительно введенного параметра кривая у будет гладкой, и вдоль нее касательный вектор будет изменяться непрерывно.

Замечание

Выбор параметризации не изменяет формы кривой, но может влиять на масс ее гладкости, так как наличие общей касательной в точке стыка в общем случае не влечет непрерывности касательного вектора. Класс падкости кривой не есть чисто геометрическое свойство, а результат ее параметризации. Он зависит не только от формы кривой, но и от выбора ее параметризации.

Если в исходном массиве коллинеарных троек вершин нет, их всегда можно получить путем соответствующего расширения этого

массива, причем так, чтобы получающаяся в результате составная кривая была - гладкой.

Пример. Пусть произвольный массив из шести вершин

Возьмем на отрезке опорной ломаной вспомогательную вершину (для простоты середину отрезка (рис. 19)) и построим для каждой четверки вершин и элементарные кубические кривые Безье

Рис. 3.19

В результате получится составная кривая

с непрерывно изменяющимся касательным вектором, но разрывной кривизной.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление