Главная > Разное > Кривые и поверхности на экране компьютера
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.3.3. Кратные и воображаемые вершины

Составная кубическая -сплайновая кривая, как правило, не проходит ни через одну вершину определяющего ее массива. Однако расположение ее начальной и конечной точек всегда известно: начальная точка составной кривой у лежит в треугольнике а конечная в треугольнике Подбором вспомогательных вершин и построением дополнительных элементарных кривых можно добиться того, чтобы начальная точка новой составной кривой выходила на отрезок располагалась ближе к вершине и даже совпадала с ней. Аналогичных результатов можно добиться и для конечной точки. Обычно это проводится путем использования кратных или воображаемых вершин.

А. Двойные вершины

Положим и построим две новые элементарные кривые задав их параметрическими уравнениями следующего вида:

где

С учетом кривых новая составная кубическая -сплайновая кривая

будет начинаться в точке

касаясь отрезка

и заканчиваться в точке

касаясь отрезка

(рис. 3.26, а). Кроме того, кривая. у будет иметь в двух этих точках нулевую кривизну.

Рис. 3.26

Б. Тройные вершины

Положим и возьмем в качестве двух новых элементарных кривых прямолинейные отрезки

где .

С учетом кривых и новая составная В-сплайновая кривая

будет начинаться в вершине и заканчиваться в вершине .

В. Воображаемые вершины

Подбором дополнительных вершин к массиву

можно добиться выполнения различных условий на концах составной кривой.

Например, составная -сплайновая кривая, построенная по новому массиву

где

будет начинаться в вершине касаясь отрезка

и заканчиваться в вершине касаясь отрезка

(рис. 3.27). Кривизны новой кривой в точках вообще говоря, отличны от нуля.

Замечание

Дополнительные вершины можно выбрать так у чтобы в концах новой составной кривой 1-е или 2-е производные радиусов-векторов

Рис. 3.27

кривых и совпадали с заданными значениями (соответственно при

Построение замкнутой кривой

Чтобы по заданному массиву

построить -гладкую замкнутую кривую, достаточно выбрать дополнительные вершины по правилу

и рассмотреть массив

(при условии, что

Неравномерное расположение узлов

Перейдем к случаю, когда узлы расположены на отрезке изменения параметра неравномерно,

По заданному массиву

составная -сплайновая кривая определяется подобно тому, как это делается при равномерном разбиении отрезка изменения параметра:

однако теперь функциональные коэффициенты существенно зависят от промежутков между узлами и определяются рекурсивно

Свойства функциональных коэффициентов

Функциональные коэффициенты :

1+ неотрицательны,

2+ в сумме составляют единицу:

Замечание

Выбор узлов параметризации может быть совершенно произвольным. Однако часто весьма удобной оказывается параметризация, в которой промежуток изменения параметра и узлы определяются длинами соответствующих хорд:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление