Главная > Разное > Кривые и поверхности на экране компьютера
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.1.10. Геометрическая непрерывность

При работе с поверхностями важно помнить о следующих двух обстоятельствах. С одной стороны, поверхность как множество точек в пространстве может иметь прекрасные геометрические характеристики, но описываться при этом достаточно плохими параметрическими уравнениями. С другой стороны, хорошие дифференциальные свойства координатных функций, задающих поверхность, не всегда обеспечивают ее регулярность.

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1

Поверхность задана параметрическими уравнениями

(рис. 4.10).

Результат: координатные функции имеют производные всех порядков, а поверхность имеет особенность - коническую точку.

Рис. 4.10

Рис. 4.11

Пример 2

Поверхность задана параметрическими уравнениями

(рис. 4.11).

Результат: координатные функции имеют непрерывные производные до 4-го порядка включительно, а поверхность имеет особенность - ребро.

Причина особенностей - в обоих примерах одна и та же.

Требование регулярности

обеспечивает отсутствие у поверхности и ребер, и конических точек.

При построении составных поверхностей наиболее типичной является ситуация, когда каждая из регулярных поверхностей, участвующих в процессе создания новой поверхности, имеет собственную параметризацию. Несогласованность параметризаций может явиться (и часто является) причиной особенностей, возникающих вдоль линий сопряжения. Это - особенности параметризации.

Предположим, что заданы две регулярные поверхности описываемые соответственно параметрическими уравнениями

и такие, что их граничные кривые имеют общий участок (рис. 4.12). В этом случае составная поверхность называется непрерывной или непрерывной.

непрерывная составная поверхность называется непрерывной, или поверхностью, если ее касательная плоскость при переходе через общую кривую изменяется непрерывно.

Рис. 4.12

Пример 3

Составная поверхность, заданная параметрическими уравнениями

является -поверхностью. Это просто вырезок координатной плоскости (рис. 4.13).

У каждой -поверхности существует такая параметризация, относительно которой эта поверхность является -регулярной.

непрерывная составная поверхность называется непрерывной или поверхностью, если ее гауссова кривизна при переходе через

Рис. 4.13

общую кривую изменяется непрерывно. Пример 4

Составная поверхность, заданная параметрическими уравнениями

является -поверхностью (рис. 4.14).

Рис. 4.14

У каждой -поверхности существует такая параметризация, относительно которой эта поверхность является -регулярной.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление