Главная > Разное > Кривые и поверхности на экране компьютера
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.2.2. Свойства элементарных поверхностей Безье

Свойства элементарных поверхностей Безье являются прямыми следствиями свойств элементарных кривых Безье. Укажем некоторые из них.

Основные свойства элементарной поверхности Безье

Элементарная поверхность Безье, порожденная массивом Р:

1+ является гладкой поверхностью, в частности 1-е производные радиуса-вектора можно записать так:

если векторы неколлинеарны, то определен единичный вектор нормали поверхности Безье ;

Рис. 4.18

2+ граничные кривые элементарной поверхности Безье суть элементарные кривые Безье соответствующих степеней, их опорные ломаные образуют границу опорной многогранной поверхности (опорного графа), в частности граничная кривая, описываемая радиусом-вектором является элементарной кривой Безье степени с опорным массивом вершин (рис. 4.18); все 4 угловые вершины опорного многогранника лежат на поверхности

и поверхность касается угловых граней опорного многогранника, например для угловой вершины выполняются равенства

(касательные векторы элементарной поверхности Безье в угловой вершине коллинеарны звеньям соответствующих граничных опорных ломаных, исходящих из этой вершины (рис. 4.19),

(вектор скручивания в угловой вершине только множителем отличается от вектора скручивания билинейной поверхности, порожденной четверкой вершин

и оценивает степень отклонения опорной вершины от касательной плоскости элементарной поверхности Безье в вершине Род,

(вектор нормали перпендикулярен плоскости треугольника (для каждой из трех других угловых вершин выполняются аналогичные соотношения);

Рис. 4.19

3+ элементарная поверхность Безье лежит в выпуклой оболочке, порожденной массивом

4+ элементарная поверхность Безье аффинно-инвариантна;

5+ элементарная поверхность Безье "повторяет" опорную многогранную поверхность;

6+ если все вершины массива лежат в одной плоскости, то определяемая этим массивом элементарная поверхность Безье представляет собой плоский криволинейный многоугольник, лежащий в этой плоскости;

7- степень функциональных коэффициентов напрямую связана с количеством вершин в массиве и растет при его увеличении;

8- при добавлении в массив новых вершин возникает необходимость полного пересчета параметрических уравнений элементарной поверхности Безье;

9- изменение хотя бы одной вершины в массиве приводит к заметному изменению всей поверхности Безье;

10- априорные сведения о расположении поверхности Безье (принадлежность выпуклой оболочке заданного массива вершин) являются достаточно грубыми;

11- в уравнениях, описывающих элементарную поверхность Безье, нет свободных параметров - заданный массив однозначно определяет поверхность Безье, не давая возможности хоть как-то влиять на ее форму;

12- элементарная поверхность Безье проективно-неинвариантна.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление