Главная > Математика > Дифференциальная геометрия и топология кривых
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 18. КРИВЫЕ В МЕХАНИКЕ

Пусть материальная точка движется по некоторой кривой 7 в пространстве. Пусть параметр обозначает время, длину на кривой. Можем рассматривать длину дуги как функцию времени Тогда величина — является величиной скорости движения точки по кривой. Вектор скорости направлен по касательной прямой к кривой у:

Вектор ускорения - лежит в соприкасающейся плоскости кривой:

Так как по закону Ньютона ускорение пропорционально действующей на тело силе то чем больше искревлена траектория движения, тем большая сила действует на движущуюся

точку. Если материальная точка движется по кривой с постоянной скоростью то вектор ускорения направлен по главной нормали кривой, причем величина ускорения равна где k — кривизна кривой. Такое движение описывает, например, частица с электрическим зарядом в магнитном поле.

Тело движется под действием как внешних сил (в силовом поле), так и под действием внутренних сил, например реактивных сил.

Рассмотрим движение тела в силовом поле. Будем считать, - что сила действующая на материальную точку, является векторной функцией точки пространства, вектора скорости движения и времени т.е. . В одних случаях функция зависит только от как, например, сила тяготения неподвижного центра, в других случаях зависит только от скорости как, например, в случае свободного движения тела в сопротивляющейся среде. Запишем уравнения движения в общем виде;

Рассмотрим отдельные случаи.

Движение в параллельном силовом поле. Пусть сила параллельна постоянному вектору а, т.е. где скалярная функция. Тогда кривая лежит в плоскости, параллельной вектору

Вдоль траектории движения функция будет некоторой функцией времени Обозначим

Интегрируя уравнение (1), получаем

Следовательно, траектория лежит в плоскости вектора и начального вектора скорости

Движение в центральном силовом поле. Пусть сила приложенная к точке, проходит через фиксированную точку пространства, например через начало координат. Это означает, что где скалярная функция. Тогда траектория движения лежит в некоторой плоскости, проходящей через начало координат. Уравнение движения имеет вид

Покажем, что векторное произведение) есть постоянный вектор. Действительно, в силу (1) имеем

Итак, Умножая это уравнение скалярно на получаем

Следовательно, координаты точки траектории удовлетворяют уравнению плоскости, проходящей через начало координат. Эта плоскость определяется начальным положением точки и начальным вектором скорости. Имеет место и обратное утверждение:

Теорема Альфана. Если все траектории материальной точки, находящиеся в постоянном силовом поле, являются плоскими кривыми, то все силы поля проходят через одну и ту же неподвижную точку или параллельны постоянному вектору.

Движение материальной точки в поле сил тяготения. Положим где некоторое постоянное положительное число.

Уравнение движения

умножим скалярно на Тогда получим

Введем координаты в пространстве так, чтобы плоскость х, у совпала с плоскостью движения точки, и в этой плоскости введем

полярные координаты и Положим

Тогда

Интегрируя уравнение (2), найдем

где некоторая постоянная. Выше мы нашли соотношение Проектируя его на ось получаем уравнение

В полярных координатах оно записывается просто:

Выразим отсюда и подставим в (3). Тогда получим

Отсюда найдем полненное выражение умножим на и, учитывая (4), найдем

где постоянные. Интегрируя это уравнение, получаем уравнение траектории

где начальное значение угла Это уравнение конического сечения с фокусом в полюсе.

Движение частицы с электрическим зарядом в электромагнитном поле. Пусть частица массы и с электрическим зарядом движется в пространстве под действием электрического поля и магнитного поля Электрическая сила, действующая на частицу, равна сила, действующая на частицу со стороны магнитного поля, по закону Лоренца равна где — скорость света. Следовательно, можно записать уравнение движения:

Умножая это уравнение скалярно на , получаем

где скорость частицы. Отсюда вытекает следующее утверждение.

Если электрическое поле равно нулю, т.е. частица с электрическим зарядом движется в магнитном поле, то скорость движения постоянна:

Тогда можно исключить время, используя дугу кривой, описываемой точкой:

Допустим, что магнитное поле создается единственным магнитным полюсом. Расположим начало координатв магнитном полюсе. Тогда имеет силовую функцию где т. е.

Уравнение движения имеет вид

где постоянное число. Умножим это уравнение векторно на Получим

Интегрируя это уравнение, найдем

где - постоянный вектор. Умножая скалярно на , находим

Это уравнение показывает, что отношение расстояния от движущейся точки до начала координат к расстоянию от этой точки до плоскости постоянно, т.е. (6) — уравнение кругового конуса. Следовательно, траектория точки лежит на круговом конусе с вершиной в начале координат — в магнитном полюсе. Эта траектория не может быть произвольной кривой на конусе: траектория является геодезической линией конуса, т.е. линией, которая после разворачивания конуса на плоскость перейдет в прямую.

Движение частицы в постоянном электромагнитном поле. Пусть поля постоянны во времени и в пространстве. Запишем уравнения движения

где постоянные. Интегрируя уравнение, найдем

Далее удобно использовать специальный выбор координат в пространстве. Направим ось вдоль вектора ось у — ортогонально плоскости векторов При таком выборе координат

Тогда можно записать

Дифференцируя первое уравнение и используя второе, находим

где некоторые постоянные. Введем функцию которая удовлетворяет уравнению

Решая это уравнение, получаем

Подставляя это выражение во второе уравнение (7) и затем интегрируя, находим

Наконец, третье уравнение дает

где величины постоянные. Полученное движение можно представить в виде суммы движений - равномерного движения по окружности

и движения окружности, центр которой перемещается по плоской кривой При этом окружность все время остается параллельной плоскости х, у. В том случае, когда постоянные равны нулю, частица движется по винтовой линии.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление