Главная > Математика > Математика: Справ. материалы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

117. График гармонического колебания

Тригонометрические функции используются для описания колебательных процессов. Один из наиболее важных процессов такого рода описывается формулой

Эта формула называется формулой гармонических или синусоидальных колебаний. Величина А называется амплитудой колебания, она характеризует размах колебания. Величина со называется частотой колебания. Чем больше со, тем больше число колебаний за единицу времени (число колебаний за единицу времени равно Наконец, а называется начальной фазой колебания. 71

Если, например, груз, висящий на пружине, вывести из положения равновесия, то он начнет совершать вертикальные колебания. Закон движения выражается формулой (1), где у — отклонение груза от положения равновесия, время. Тот же закон встречается в теории переменного электрического тока. При вращении прямоугольной рамки, сделанной из проводящего электрический ток материала, в магнитном поле по ней идет переменный ток. Если рамка вращается равномерно, величина тока меняется по закону гармонических колебаний (1).

Построим график функции Прежде всего преобразуем функцию к виду Построение графика этой функции выполним в несколько этапов.

1) Осуществим параллельный перенос системы координат, поместив начало новой системы в точку

2) В системе построим график функции (при этом можно ограничиться одной полуволной).

3) Осуществив сжатие построенного графика к оси у с коэффициентом со, получим график

4) Осуществив растяжение последнего графика от оси с коэффициентом получим требуемый график.

Пример 1. Построить график функции

Решение. Имеем Построение графика выполним в несколько этапов.

1) Осуществим параллельный перенос системы координат, выбрав началом новой системы точку

В системе нам нужно построить график функции

2) Строим график функции

3) Выполним сжатие графика к оси у с коэффициентом (т. е. растяжение с коэффициентом 3), получим график функции .

4) Осуществим растяжение последнего графика от оси х с коэффициентом 2. Полученный график является графиком функции (рис. 66).

На практике вместо сжатия, растяжения и параллельного переноса часто поступают иначе: отыскивают значения при которых заданная функция обращается в нуль, и значения, при которых она принимает наибольшее и наименьшее значения. Далее строят график по точкам.

Пример 2. Построить график гармонического колебания

Решение. Решим сначала уравнение

Имеем (см. п. 164) Дадим

параметру два значения: 0 и 1. При имеем при имеем Значит, точки и служат концами одной полуволны искомой синусоиды. Далее, серединой отрезка является точка в которой функция принимает максимальное значение, равное трем. Значит, — точка максимума (см. п. 217). Отмечаем на координатной плоскости точки и строим полуволну искомого графика (рис. 66, а). После этого строим график заданного гармонического колебания (рис. 66, б).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление