Главная > Математика > Математика: Справ. материалы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

156. Универсальная подстановка (для тригонометрических уравнений).

Если , то справедливы следующие тождества:

В самом деле, имеем:

Итак, рационально выражаются через поэтому подстановка и называется универсальной. Она может быть использована в уравнении вида , где — рациональное выражение относительно

Поскольку использование универсальной подстановки возможно лишь при , то нужно проверять, не являются ли числа вида решениями заданного уравнения. Пример 1. Решить уравнение

Решение. Выражая через по формулам (1) и полагая придем к рациональному уравнению

Решив это уравнение, получим Из уравнения находим:

Проверкой убеждаемся, что значения не удовлетворяют заданному уравнению. Итак, получаем ответ:

Пример 2. Решить уравнение . Решение. Воспользуемся универсальной подстановкой. Выражая через и полагая получим рациональное уравнение

откуда Из уравнения находим

Однако нужно еще проверить, не удовлетворяют ли заданному уравнению те значения х, при которых

т. е. значения Имеем:

Проверка показывает, что значения являются решениями уравнения. Итак, заданное уравнение имеет следующие решения:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление