Главная > Математика > Математика: Справ. материалы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

159. Уравнения с параметром.

Пусть дано равенство с переменными

Если ставится задача для каждого действительного значения а решить это уравнение относительно х, то уравнение

называется уравнением с переменной х и параметром а.

Решить уравнение с параметром а — это значит для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Рассмотрим прежде всего те значения параметра, которые обращают в нуль коэффициент при х (при этих значениях параметра невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при при остальных значениях параметра такое деление возможно). Такими значениями являются При уравнение принимает вид . Это уравнение не имеет корней. При данное уравнение принимает вид корнем его служит любое действительное число. При уравнение можно преобразовать к виду откуда находим

Таким образом, если , то уравнение не имеет корней; если то корнем служит любое действительное число; если

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Выделим особо значение параметра . Дело в том, что при данное уравнение не является квадратным, а при оно квадратное. Значит, решать его в каждом из этих случаев надо по-своему. При уравнение принимает вид откуда находим . В случае а для квадратного уравнения выделим те значения параметра, при которых дискриминант уравнения обращается в нуль. Имеем Значит, значение параметра, на которое нам надо обратить внимание.

Если и, следовательно, уравнение не имеет действительных корней; если , то и мы получаем:

если , то и мы получаем

Итак, если то действительных корней нет; если , то

Пример 3. При каких значениях параметра а уравнение

имеет два различных отрицательных корня?

Решение. Так как уравнение должно иметь два различных действительных корня его дискриминант должен быть положительным. Имеем:

Значит, должно выполняться неравенство . По теореме Виета имеем:

Поскольку по условию то

В итоге мы приходим к системе неравенств (см. п. 177):

Из первого неравенства системы находим (см. п. 180, 183): из второго: из третьего: . С помощью координатной прямой (рис. 72) находим, что либо либо

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление