Главная > Математика > Математика: Справ. материалы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

183. Решение рациональных неравенств методом промежутков.

Решение рациональных неравенств вида (вместо знака может быть и любой другой знак неравенства), где — многочлены, основано на следующем рассуждении.

Рассмотрим функцию где Если то каждый из сомножителей положителен, и, следовательно, на промежутке имеем . Если то остальные сомножители по-прежнему положительны. Значит, на интервале имеем Аналогично на интервале будет (рис. 84, а).

Изменение знаков функции удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кривой (ее называют «кривой знаков»), которую чертят справа налево, начиная сверху (рис. 84, б). Эту иллюстрацию нужно понимать так: на тех промежутках, где эта кривая проходит выше координатной прямой, выполняется неравенство на тех же промежутках, где кривая проходит ниже прямой, имеем

Для проведенного выше рассуждения было несущественно количество линейных множителей в числителе и знаменателе, а также взаимное расположение корней числителя и знаменателя дроби на координатной прямой. Поэтому оно применимо и для функции вида

где числа попарно различны. Изменение знаков функции мы также можем иллюстрировать с помощью кривой знаков, которую чертят справа налево, начиная сверху, и проводят через все отмеченные на координатной прямой точки На этом основан метод промежутков, который с успехом применяется для решения рациональных неравенств.

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Выполним преобразования левой части неравенства

и умножим обе части неравенства на 8; получим неравенство равносильное данному.

Изменение знаков функции иллюстрируем с помощью кривой знаков (рис. 85, а). Значения х, при которых (заштриховано), удовлетворяют следующим неравенствам:

Это решения исходного неравенства.

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Имеем и далее

Начертим кривую знаков для функции (рис. 85, б). С ее помощью находим решения неравенства:

Пример 3. Решить неравенство

Решение. Выражение обращается в нуль при и при при остальных значениях х оно положительно. Значения

удовлетворяют данному нестрогому неравенству, т. е. являются его решениями. Пусть теперь тогда потому, разделив обе части заданного неравенства на и сохранив знак заданного неравенства, получим неравенство, равносильное исходному (см. п. 174). Полученное неравенство имеет следующие решения: . В ответ нужно включить и отмеченное выше решение

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление