Главная > Математика > Математика: Справ. материалы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

186. Иррациональные неравенства.

При решении иррациональных неравенств используется следующее утверждение:

Т.6.8. Если обе части неравенства на некотором множестве X принимают только неотрицательные значения, то, возведя обе части неравенства в квадрат (или в любую четную степень) и сохранив знак исходного неравенства, получим неравенство, равносильное данному (на множестве X). Возведение обеих частей неравенства в одну и ту же нечетную степень (с сохранением знака неравенства) всегда является равносильным преобразованием неравенства.

Рассмотрим неравенство вида

Ясно, что решение этого неравенства является в то же время решением неравенства и решением неравенства (из неравенства (1) следует, что Значит, неравенство (1) равносильно системе неравенств

Так как при выполнении условий, задаваемых первыми двумя неравенствами этой системы, обе части третьего неравенства системы определены и принимают только неотрицательные значения, то их возведение в квадрат есть равносильное преобразование неравенства. Выполнив это преобразование, придем к системе

Итак, неравенство равносильно системе неравенств

Рассмотрим теперь неравенство вида

Как и выше, заключаем, что но в отличие от предыдущего случая здесь может принимать как неотрицательные, так и отрицательные значения. Поэтому заданное неравенство (2) рассмотрим в каждом из следующих случаев: . Получим совокупность систем

В первой из этих систем можно опустить последнее неравенство — оно вытекает из первых двух неравенств системы. Во второй системе можно выполнить возведение в квадрат обеих частей последнего неравенства.

В итоге приходим к следующему результату: неравенство равносильно совокупности двух систем:

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Это неравенство равносильно следующей системе неравенств:

Решив систему, находим

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

Второе неравенство второй системы можно опустить как следствие третьего неравенства той же системы.

Решив первую систему, получим из второй системы

мы получаем Объединив найденные решения, получим

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление