Главная > Математика > Математика: Справ. материалы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

216. Применение производной к исследованию функций на монотонность.

Производная позволяет во многих случаях сравнительно просто исследовать функцию на монотонность. Достигается это с помощью следующих двух теорем:

Т.7.1. Пусть функция определена и непрерывна в промежутке X и во всех внутренних точках этого промежутка имеет неотрицательную производную причем равенство выполняется не более чем в конечном числе точек этого промежутка. Тогда функция возрастает на промежутке X.

Т.7.2. Пусть функция определена и непрерывна в промежутке X и во всех внутренних точках этого промежутка имеет неположительную производную причем равенство выполняется не более чем в конечном числе точек этого промежутка. Тогда функция убывает на промежутке X.

Пример 1. Исследовать на монотонность функцию

Решение. Имеем Справедливо неравенство причем знак равенства имеет место лишь в одной точке Значит, по теореме 7.1 функция возрастает на всей числовой прямой.

Пример 2. Исследовать на монотонность функцию

Реш ение. Имеем Так как , то при всех х. Значит, по теореме 7.2 функция убывает на всей числовой прямой.

Пример 3. Исследовать на монотонность функцию

Решение. Имеем

Знаки выражения меняются так, как показано на рисунке 108 (см. п. 183). Но область определения исследуемой функции задается неравенством Значит, из показанных на рисунке четырех промежутков нас интересуют только два: промежуток (2; 3) — на нем значит, функция на этом интервале убывает — и промежуток — на нем значит, функция на этом промежутке возрастает.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление