Главная > Математика > Математика: Справ. материалы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

222. Применение производной для доказательства неравенств.

Пример 1. Доказать, что при справедливо неравенство

Решение. Рассмотрим функцию и найдем ее производную: Замечаем, что на интервале (0; 1) производная значит, функция убывает на этом интервале (см. п. 216). Поэтому, в частности, при справедливо неравенство . Но

Итак, что и требовалось доказать.

Пример 2. Доказать, что если то а .

Решение. Рассмотрим функцию и найдем ее производную Замечаем, что т. е.

функция возрастает на всей числовой прямой. Значит, из вытекает

Пример 3. Доказать, что при всех х справедливо неравенство

Решение. Рассмотрим функцию и исследуем ее на экстремум. Имеем:

при других критических точек у функции нет (уравнение не имеет корней). при при значит, - точка минимума функции. Поскольку других точек экстремума у данной непрерывной функции нет, то — наименьшее значение функции (см. утверждение 2° из . Но

Итак,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление