Главная > Математика > Математика: Справ. материалы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

23. Сравнение действительных чисел.

Для любых неравных действительных чисел а и можно сказать, какое больше, а какое меньше.

Говорят, что число а больше числа и пишут: если разность положительное число; если же разность а — отрицательное число, то говорят, что число а меньше числа и пишут: Согласно этому определению любое положительное число больше нуля, любое отрицательное число меньше нуля и меньше любого положительного числа. Для любых заданных чисел а и верно одно и только одно из отношений:

С геометрической точки зрения неравенство означает, что точка а расположена на координатной прямой левее (правее) точки

Знаки называются знаками строгих неравенств. Иногда используются знаки — знаки нестрогих неравенств; запись означает, что верно одно из двух: или число а меньше числа или число а равно числу Например, верные неравенства. Неравенства называются неравенствами одного знака; неравенства называются неравенствами противоположных знаков. Если числа а, с таковы, что то используется запись

Пример. Сравнить числа .

Решение. Составим разность и найдем значение этой разности:

Разность отрицательна, поэтому

24. Свойства числовых неравенств. Для любых действительных чисел выполняются следующие свойства:

2°. Если то (свойство транзитивности).

4°. Если — положительное число то Это свойство имеет следующий смысл: если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.

Доказательство. Рассмотрим разность . Имеем По условию с — положительное число, а так как то и — положительное число. Но произведение двух положительных чисел есть положительное число, значит, с Таким образом, Но если разность — положительное число, то

5°. Если и с — отрицательное число то Это свойство имеет следующий смысл: если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число и изменить знак исходного неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.

6°. Если то (если почленно сложить два верных неравенства одного знака, то получится верное неравенство).

7°. Если — положительные числа, причем то (если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых положительные числа, то получится верное неравенство).

Доказательство. Так как , то по свойству аналогично из следует Так как далее то по свойству

10°. Если то для любого натурального числа выполняется неравенство

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление