Главная > Математика > Математика: Справ. материалы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

11. Параллельные прямые.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 26 показано, как с помощью угольника и линейки провести через данную точку В прямую параллельную данной прямой а.

Для обозначения параллельности прямых используется символ Запись читается: «Прямая а параллельна прямой

Аксиома параллельности выражает основное свойство параллельных прямых.

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

Т.1.6. Две прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу.

На рисунке 27 прямые а и параллельны прямой с. Теорема 1.6 утверждает, что

Можно доказать, что через точку, не принадлежащую прямой, можно провести прямую, параллельную данной. На рисунке 28 через точку А, не принадлежащую 6, проведена прямая а, параллельная прямой

Сопоставляя это утверждение и аксиому параллельных, приходят к важному выводу: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую, и только одну.

Аксиома параллельности в книге Евклида «Начала» называлась «пятый постулат». Геометры древности пытались доказать единственность параллельной. Эти безрезультатные попытки продолжались более 2000 лет, вплоть до XIX в.

Великий русский математик Н. И. Лобачевский и независимо от него венгерский математик Я. Бойян показали, что, приняв допущение о возможности проведения через точку нескольких прямых, параллельных данной, можно построить другую, столь же «правильную» «неевклидову геометрию». Так родилась геометрия Лобачевского.

Примером теоремы, которая использует понятие параллельности, а ее доказательство опирается на аксиому параллельных, служит теорема Фалеса. Фалес Милетский — древнегреческий математик, живший в 625-547 гг. до н. э.

Т. 1. 7. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне (теорема Фалеса).

Пусть — точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла и лежит между (рис. 29). Пусть — соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Теорема 1.7 утверждает, что если то

Пример 1. Могут ли семь прямых пересекаться в восьми точках?

Решение. Могут. Например, на рисунке 30 изображены семь таких прямых, три из которых параллельны.

Пример 2. Произвольный отрезок разделить на 6 равных частей.

Решение. Начертим отрезок Проведем из точки А луч не лежащий на прямой На луче от точки А последовательно отложим 6 равных отрезков (рис. 31). Концам отрезков дадим обозначения Соединим точку отрезком с точкой С и через точки проведем прямые, параллельные прямой Точки пересечения этих прямых с отрезком разделят его на равных частей (по теореме 1. 7).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление