Главная > Математика > Математика: Справ. материалы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Геометрические построения на плоскости

21. Чертежные инструменты.

В геометрии постоянно приходится решать задачи на построение геометрических фигур с помощью чертежных инструментов.

В некоторых случаях в задаче сказано, какие чертежные инструменты можно применять при построении. В случаях, когда это не оговорено, можно самим выбирать нужные для построения инструменты.

В школьном курсе геометрии мы пользуемся такими чертежными инструментами, как линейка (односторонняя), циркуль, угольник, транспортир.

Существуют различные типы задач на построение в зависимости от набора инструментов: построения циркулем и линейкой; построения только одним циркулем (построения Мора-Маскерони); построения только одной линейкой, если на плоскости начерчена окружность и ее центр (построения Штейнера); с помощью угольника; с помощью транспортира и т. д.

С помощью линейки можно начертить (в виде отрезка) изображение: а) произвольной прямой; б) прямой, проходящей через данную точку; в) прямой, проходящей через две данные точки. С помощью линейки нельзя откладывать отрезки, даже если на ней имеются деления, нельзя пользоваться обоими краями линейки.

С помощью циркуля можно: а) построить окружность данного радиуса с центром в данной точке; б) отложить данный отрезок на данной прямой от данной точки.

С помощью угольника можно выполнить те же построения, что и линейкой; кроме того, можно совместить одну из сторон угольника с данной прямой и провести прямую по другой

стороне угла. С помощью угольника можно также построить прямой угол. В п. 11 (рис. 26) рассказано, как с помощью угольника и линейки можно построить параллельные прямые.

С помощью транспортира можно построить точку на луче, образующем некоторый данный угол с данной прямой с вершиной в данной точке. На рисунке 16 (п. 8) показано, как с помощью транспортира можно отложить от полупрямой в верхнюю полуплоскость угол с заданной градусной мерой,

В геометрии, как правило, точными считаются построения, выполняемые с помощью циркуля и линейки.

Есть задачи на построение, про которые известно, что они не разрешимы с помощью циркуля и линейки.

1) Задача о трисекции угла. Дан угол а. Построить угол

2) Задача об удвоении куба. Дан куб (т. е. дан отрезок, равный ребру куба). Построить другой куб (т. е. построить ребро такого куба), объем которого вдвое больше объема данного куба.

3) Задача о. квадратуре круга. Дан круг. Построить квадрат, равновеликий этому кругу.

Доказательство неразрешимости этих задач требует глубоких математических знаний. Глава «Декартовы координаты на плоскости» познакомит вас с аналитическим методом решения геометрических задач, когда задача переводится на язык формул. Доказано, что если геометрическая фигура, которую мы хотим построить, может быть выражена формулой, содержащей только рациональные функции и действие извлечения квадратного корня, то тогда этот объект можно построить с помощью циркуля и линейки.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление