Главная > Математика > Математика: Справ. материалы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

64. Площади поверхностей тел вращения.

Воспользовавшись данным в предыдущем пункте определением площади поверхности, можно получить формулы, по которым вычисляются площади поверхностей различных тел вращения. Площадь сферы находится по формуле

где — радиус сферы.

Площадь поверхности сферического сегмента находится по формуле

где — радиус сферы, высота сегмента.

Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле

где — радиус основания цилиндра, его высота. Для нахождения площади полной поверхности цилиндра надо к площади боковой поверхности прибавить удвоенную площадь основания.

Площадь боковой поверхности конуса находится по формуле

где — радиус основания конуса, его образующая. Для нахождения площади полной поверхности конуса нужно к площади его боковой поверхности прибавить площадь основания.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса находится по формуле

где соответственно радиусы оснований, его образующая.

Пример 1. В конус, радиус основания которого и высота Н, вписан цилиндр. Найдите размеры цилиндра, при которых площадь его боковой поверхности имеет наибольшее значение.

Решение. Обозначим радиус основания цилиндра через его высоту через (рис. 187). Из подобия и

следует, что откуда Подставив в формулу значение , получим

Рассмотрим как функцию и иссдедуем ее на экстремум. Для этого найдем ее производную

Очевидно, при . В этой точке функция имеет максимум. Итак, наибольшее значение площадь боковой поверхности цилиндра принимает при

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление