Главная > Математика > Математика: Справ. материалы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

73. Взаимное расположение сферы и плоскости.

Пусть дана сфера радиуса расстояние от ее центра С до плоскости а равно Введем систему координат так, как показано на рисунке 201: плоскость совпадает с плоскостью а, а центр С сферы лежит на оси z. В этой системе координат точка С имеет координаты поэтому уравнение сферы таково: Плоскость совпадает с координатной плоскостью поэтому ее уравнение

Если координаты какой-нибудь точки удовлетворяю обоим уравнениям, то точка М лежит как в плоскости а, так и на сфере, т. е. является общей точкой плоскости и сферы. Если же система этих двух уравнений не имеет решений, то сфера и плоскость не имеют общих точек. Таким образом, вопрос о взаимном расположении сферы и плоскости сводится к исследованию системы уравнений:

Возможны три случая:

Система имеет бесчисленное множество решений, все точки лежат на окружности. Вывод: если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность (рис. 201, а).

Система имеет единственное решение. Вывод: если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют единственную общую точку — точку касания (рис. 201, б).

Система не имеет решений. Вывод: если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек (рис. 201, в).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление