Главная > Математика > Математика: Справ. материалы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

84. Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением векторов на плоскости называется число . Для скалярного произведения векторов употребляется такая же запись, как и для произведения чисел. Скалярное произведение обозначается . Очевидно,

Из определения скалярного произведения векторов следует, что для любых векторов

Т.6.5. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Пусть нам даны векторы угол между которыми а, тогда откуда

Из следует, что скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных векторов равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

На рисунке 240 изображены векторы для которых Если то угол между ними равен 90°, т. е. эти векторы лежат на перпендикулярных прямых.

Скалярным произведением векторов в пространстве называется число Для скалярного произведения двух векторов в пространстве справедлива теорема 6.5.

Пример 1. Даны векторы Найти такое число К при котором вектор а перпендикулярен вектору

Решение. Векторы а перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0.

Вектор имеет координаты , тогда скалярное произведение векторов равно

Итак, при векторы перпендикулярны.

Пример 2. Доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Решение. Пусть — параллелограмм (рис. 241). Пусть причем

По правилам сложения и вычитания векторов

Используя свойства скалярного квадрата, получим

Пример 3. В тетраэдре противоположные ребра также взаимно перпендикулярны.

Доказать, что противоположные ребра также взаимно перпендикулярны.

Решение. Пусть (рис. 242). Отсюда По условию поэтому Следовательно, откуда — . Из этих двух равенств следует, что с или Но поэтому и, значит,

Пример 4. Дана правильная треугольная призма в которой (рис. 243). Найти угол между прямыми

Решение. Пусть тогда Введем прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 243. Тогда вершины имеют следующие координаты (объясните почему). Отсюда находим координаты векторов

Векторы принадлежат прямым искомый угол между которыми обозначим через По по лучаем

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление