Главная > Математика > Математика: Справ. материалы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

54. Разложение многочленов на множители.

Иногда можно преобразовать многочлен в произведение нескольких сомножителей — многочленов или одночленов. Такое тождественное преобразование называется разложением многочлена на множители. В этом случае говорят, что многочлен делится на каждый из этих множителей.

Рассмотрим некоторые способы разложения многочленов на множители.

1) Вынесение общего множителя за скобку. Это преобразование является непосредственным следствием распределительного закона (для наглядности нужно лишь переписать этот закон «справа налево»):

Пример 1. Разложить на множители многочлен

Решение.

Обычно при вынесении общего множителя за скобки каждую переменную, входящую во все члены многочлена, выносят с наименьшим показателем, который она имеет в данном многочлене. Если все коэффициенты многочлена — целые числа, то в качестве коэффициента общего множителя берут наибольший по модулю общий делитель всех коэффициентов многочлена.

2) Использование формул сокращенного умножения. Формулы (1) — (7) из будучи прочитанными «справа налево», во многих случаях оказываются полезными для разложения многочленов на множители.

Пример 2. Разложить на множители

Решение. Имеем . Применив формулу (1) (разность квадратов), получим Применив

теперь формулы (4) и (5) (сумма кубов, разность кубов), получим:

Итак,

Пример

Решение. Сначала вынесем за скобку общий множитель. Для этого найдем наибольший общий делитель коэффициентов 4, 16, 16 и наименьшие показатели степеней, с которыми переменные а и входят в составляющие данный многочлен одночлены. Получим:

Так как далее по формуле , то окончательно получаем

3) Способ группировки. Он основан на том, что переместительный и сочетательный законы сложения позволяют группировать члены многочлена различными способами. Иногда удается такая группировка, что после вынесения за скобки общих множителей в каждой группе в скобках остается один и тот же многочлен, который в свою очередь как общий множитель может быть вынесен за скобки. Рассмотрим примеры разложения многочлена на множители.

Пример

Решение. Произведем группировку следующим образом:

В первой группе вынесем за скобку общий множитель во второй — общий множитель 5. Получим Теперь многочлен как общий множитель вынесем за скобку: Таким образом, получаем:

Пример

Решение.

Пример

Решение. Здесь никакая группировка не приведет к появлению во всех группах одного и того же многочлена. В таких случаях иногда оказывается полезным представить какой-либо член многочлена в виде некоторой суммы, после чего снова попробовать применить способ группировки. В нашем примере целесообразно представить в виде суммы — Получим

Пример

Решение. Прибавим и отнимем одночлен Получим

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление