Главная > Разное > Дифракция упругих волн
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ. ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ И СООТНОШЕНИЯ

В настоящей главе приведены линейные и линеаризованные уравнения движения, а также законы деформирования некоторых наиболее часто применяемых моделей изотропного твердого деформируемого тела. В классической и уточненной постановках изложены основные уравнения изгиба пластин. Путем введения потенциальной функции уравнения движения преобразованы к системе волновых уравнений. Для установившегося движения уравнения сведены к векторным и скалярным волновым уравнениям, что позволяет с единой точки зрения подойти к решению задач для всех линейных моделей изотропного Деформируемого тела.

Изложение проведено в основном в векторной форме. При необходимости обращения к координатной форме для простоты изложения будем использовать прямоугольную декартовую систему координат . Как при векторной форме записи, так и при координатной использованы обозначения, принятые в специальной литературе. В первой главе по повторяющимся два и более раз индексам, если особо не оговорено, производится суммирование от 1 до 3; дифференцирование по пространственным координатам обозначается индексами после запятой, дифференцирование по времени — точкой.

§ 1. Линейное упругое и вязко-упругое тело

Линейное уравнение движения в векторной форме для идеально упругого изотропного однородного тела при отсутствии объемных сил имеет вид

Если вектор перемещений представить в виде

где первое слагаемое описывает потенциальное поле, а второе — соленоидальное, то уравнение (1.1) распадается на два волновых уравнения

Тензор деформаций определим следующим образом:

или

(звездочка обозначает транспонирование).

Связь между тензором напряжений и тензором деформаций выражается формулой

или в координатной форме

Для установившихся движений частиц тела зависимость от времени учитывается сомножителем и уравнения (1.3) принимают вид

После нахождения из (1.8) деформации и напряжения определяются по формулам (1.4) — (1.7).

Рассмотрим некоторые частные случаи деформирования упругих тел. Если упругое тело находится в условиях плоской деформации в плоскости то В этом случае векторный потенциал представим в форме

и уравнения (1.3) примут вид

Перемещения определятся формулой

Для установившихся движений получим

При плоской деформации компоненты тензора напряжений отличны от нуля. В случае обобщенного плоского напряженного состояния постоянную X необходимо заменить на

Если упругое тело находится в условиях антиплоской деформации, то

Тогда решение представится в форме

Уравнения движения запишем в виде

Подставляя (1.15) в (1.2), получаем

Компоненты тензора напряжений определяются по формулам

Для установившегося движения уравнение (1.16) принимает вид

При решении краевых задач для рассматриваемого тела к уравнениям движения в потенциалах необходимо присоединить условия на границе области V, занятой телом. Если на части границы заданы напряжения, а на перемещения, то граничные условия можно записать в виде

В общем случае движения необходимо учесть еще начальные или граничные условия по времени. Для установившегося движения поэтому нет необходимости удовлетюрять таким условиям. При решении задач для кусочно-неоднородных тел необходимо выполнение условия непрерывности вектора перемещений на границе раздела с учетом того, что правые части (1.20), (1.21) являются составляющими вектора напряжений и перемещений на площадке с нормалью

Для вязко-упругого тела уравнения движения получаются из принципа соответствия [4], согласно которому в уравнении (1.1) постоянные Ляме следует заменить интегро-дифференциальными операторами по времени При установившихся движениях операторы превращаются в комплексные числа

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление