Главная > Разное > Дифракция упругих волн
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 5. ДИФРАКЦИЯ УПРУГИХ ВОЛН НА ТЕЛАХ ВРАЩЕНИЯ

Настоящая глава посвящена изучению взаимодействия установившихся упругих волн с трехмерными препятствиями (полостями, включениями). В качестве основных видов нагрузки при вычислении напряженного состояния рассматриваются плоская и сферическая волны расширения. Рассмотрены сферические препятствия (полость, жесткое, упругое или жидкое включение), сфероидальные, а также в виде произвольного тела вращения, близкого по форме к сферическому.

§ 1. Сферическая полость. Плоская волна расширения

Безграничное упругое тело содержит сферическую полость радиуса Отнесем его к сферическим координатам (рис. 5.1) и рассмотрим задачу о действии на полость плоской волны расширения, полагая для конкретности, что волна движется в направлении оси Потенциал падающей волны имеет вид

где, как и ранее, А — амплитуда; волновое число, — круговая частота; и соответственно скорости распространения волн расширения и волн сдвига в упругом теле.

Падающая волна, встречая полость, порождает отраженные волны как расширения, так и сдвига. Потенциалы отраженных волн определяются из решения волновых уравнений (2.31), (2.36) в сферических координатах. Учитывая, что задача характеризуется осевой симметрией относительно оси оператор Лапласа в волновых уравнениях запишем в виде

Граничные условия на поверхности полости таковы:

Напряжения и перемещения определяются через волновые потенциалы посредством формул (2.45).

Падающая плоская волна может быть представлена в сферических координатах в виде ряда [69]

Здесь — сферические функции Бесселя [70]; полиномы Лежандра. Ниже множитель опущен.

Общее решение волновых уравнений, удовлетворяющее условиям излучения, может быть записано в форме

где сферические функции Ханкеля I рода; неопределенные постоянные; .

Подставляя (5.4), (5.5) в граничные условия (5.3) и используя ортогональность полиномов Лежандра, находим значения постоянных Окончательно выражения для не равных нулю компонентов напряженного состояния имеют вид [124]

Здесь

Рис. 5.1.

Рис. 5.2.

При вычислениях напряжения представляются в виде (4.10). На рис. 5.2 показано распределение напряжения отнесенного к напряжению в падающей волне, по поверхности полости для нескольких значений нормированного волнового числа

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление