Главная > Разное > Дифракция упругих волн
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Сферическое включение. Плоская волна расширения

Если в упругую среду внедрено сферическое включение, которое является значительно более жестким, чем среда, то целесообразно рассматривать дифракцию волн на абсолютно

жесткой сфере. Поскольку окружающая среда является упругой, сфера может перемещаться в ней при взаимодействии с упругой волной. Обозначим через перемещение жесткой сферы в направлении распространения падающей волны (т. е. в направлении оси ). Тогда граничные условия естественно выбрать в виде [124]

Здесь перемещения в падающей волне; — перемещения в поле отраженных волн. Поступательное перемещение определяется из уравнения движения Ньютона

где масса сферы, плотность материала включения, а интеграл берется по всей поверхности сферы и представляет силу, действующую на сферу со стороны окружающей среды. Подставляя (5.4), (5.5) в соотношение (5.8), получаем

где плотность среды.

Используя (5.9) и граничные условия (5.7) для определения постоянных получаем выражения для перемещений в упругой среде

и напряжения в виде формул (5.6). При этом постоянные в формулах (5.6), (5.10) имеют вид

и, кроме того,

Числовые результаты для жестких включений приведены в §4, где сравниваются с результатами для сфероидального включения.

В некоторых случаях пренебречь упругостью включения нельзя. Тогда необходимо ввести в рассмотрение рефракционные волны, т. е. волны, прошедшие во включение. Их потенциалы удовлетворяют волновым уравнениям, у которых волновые числа будут

Здесь постоянные Ляме для включения. Общее решение волновых уравнений для волн, распространяющихся во включении и ограниченных в начале координат, имеет вид

где постоянные, подлежащие определению.

Граничные условия на поверхности включения состоят в равенстве напряжений и перемещений включения и среды

Подставляя (5.4), (5.5), (5.11) в условия (5.12), получаем для каждого значения систему четырех алгебраических уравнений, служащих для определения постоянных которые в матричной форме имеют вид

Здесь

Если сферическая полость заполнена идеальной сжимаемой жидкостью, то внутрь полости проходят лишь волны расширения. Граничные условия на поверхности полости таковы:

Тангенциальное перемещение упругой среды может быть отличным от тангенциального перемещения жидкости на граничной поверхности. Эта особенность обусловлена пренебрежением вязкостью жидкости.

Для решения задачи соотношения (5.4), (5.5) и первое из (5.11) подставляются в граничные условия (5.14). Окончательно напряжения и перемещения определяются по формулам (5.6), (5.10), в которых постоянные являются решением системы трех алгебраических уравнений

где

В заключение отметим, что случай падающей плоской волны сдвига рассматривается аналогично.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление