Главная > Разное > Дифракция упругих волн
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 6. ДИФРАКЦИЯ ВОЛН НА ТРЕЩИНАХ И РАЗРЕЗАХ

В данной главе исследуется взаимодействие упругих волн с препятствиями в виде прямолинейных разрезов и трещин. Теория трещин в настоящее время интенсивно развивается. Имеется обширная литература, посвященная в первую очередь исследованию статического распределения напряжений около трещин и разрезов, например [51, 76, 80, 97]. При этом базисным решением является решение задачи для упругой плоскости с эллиптическим отверстием, которая позволяет применить методы теории функций комплексного переменного.

Динамические задачи теории трещин и задачи дифракции волн на трещинах исследованы в значительно меньшей степени. Это обусловлено в первую очередь трудностью получения эффективного математического решения, поскольку для упругого тела с трещиной классический метод разделения переменных в динамическом случае неприменим.

Динамические задачи для тел с трещинами подразделяются на два класса: дифракция волн на стационарных трещинах и распространение трещин. В последнее время появились также некоторые исследования, в которых рассматривается взаимодействие упругих волн с движущимися трешинами. В настоящей главе рассмотрены задачи первого класса. Приводятся наиболее характерные результаты. В некоторых случаях промежуточные выкладки при изложении методов решения опущены.

§ 1. Полубесконечные трещины. Волна сдвига

Задача о дифракции плоской волны на полубесконечном разрезе в условиях аитиплоской деформации может быть решена в параболических координатах, введенных формулами (2.65), (2.66). В § 7 главы 4 рассмотрена аналогичная задача для параболического выреза. Если фокусное расстояние выреза устремить к нулю, вырез превращается в полубесконечную трешину. Решение для трещины [86] получается путем подстановки выражений (4.61), (4.63) в выражения для напряжений, после чего полагается Полученные ряды суммируются по формуле [1]

Обозначения те же, что и в § 5 второй главы, а также § 7 четвертой главы; угол, образуемый направлением распространения волны с осью

Аналогично (6.1) для падающей волны при любом получим

Тогда окончательно решение задачи о дифракции на трещине имеет вид

Здесь перемещение; амплитуда падающей волны. Напряжение выражается формулами

Впереди трещины или имеем

Вблизи вершины трещины из формул (6.3), (6.4) нетрудно получить разложения

Полярные координаты связаны с параболическими координатами соотношениями (2.66).

Из формул (6.6) следует, что напряжение а, имеет вблизи вершины трещины особенность порядка Укажем, что в статической задаче особенность в вершине имеет порядок .

На рис. 6.1 показано изменение напряжения сдвига отнесенного к вдоль теневой (штриховая кривая) и освещенной (сплошная кривая) сторон трещины, вычисленное по формулам (6.4). Абсцисса на графике умножена на функцию . С помощью приведенных кривых можно определить разрыв, который претерпевает напряжение при переходе через трещину.

Аналогично может быть рассмотрена задача о дифракции плоской волны на жесткой неподвижной полосе нулевой толщины. Для этого необходимо в решении для жесткого параболического включения (формула положить и просуммировать ряд с учетом (6.1). Получим

Рис. 6.1.

Рис. 6.2.

Рис. 6.3.

Вдоль полосы действуют напряжения имеющие вид

Вдоль отрицательной полуоси впереди полосы имеем

Вблизи вершины

Как и в случае трещины, напряжение имеет в вершине полосы особенность порядка

На рис. 6.2 приведены напряжения, подсчитанные по формулам (6.8) для освещенной (сплошная кривая) и теневой (штриховая) областей. На рис. 6.3 показано распределение напряжений впереди полосы В отличие от задачи для

трещины дифракция волн на полосе происходит даже при нулевом угле падения Волнообразная линия на рис. 6.3 является результатом интерференции волн вдоль отрицательной полуоси

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление