Главная > Разное > Дифракция упругих волн
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Круговое включение. Общая задача

Плоская упругая волна распространяется в отрицательном направлении оси и взаимодействует с жестким круговым цилиндром (см. рис. 11.6) [89]. Уравнение движения цилиндра плотностью имеет вид

Здесь смешение цилиндра в направлении оси .

Если представить волновые потенциалы и компоненты напряженно-деформированного состояния в виде рядов Фурье, т. е.

то из уравнения (11.42) получим

Принимается, что цилиндр скреплен со средой и сохраняется непрерывность смещения на границе раздела. Поскольку за фронтом падающей волны задана скорость частиц, удобно удовлетворять условию непрерывности, приравнивая на границе раздела компоненты скорости оболочки и среды. Тогда для радиального и касательного направлений получим

Здесь, как и ранее, индекс вверху обозначает величины, относящиеся к падающей волне, а звездочка — к отраженным волнам.

Рис. 11.13.

Рис. 11.14.

Рис. 11.15.

Как показывают соотношения (11.44), (11.45), для поступательного движения цилиндра требуются только коэффициенты рядов начиная с Тогда потенциалы отраженных волн достаточно выбрать в виде

Если к волновым уравнениям (1.10), в которых введено безразмерное время применить интегральное преобразование Лапласа по то в области изображений для расходящихся волн получим

где

Изображения компонентов напряженно-деформированного состояния в поле падающей волны (которая определена в предыдущем параграфе) для имеют вид

Здесь

Применяя преобразование Лапласа к уравнениям (11.44), (11.45), подставляя туда выражения (11.46), (11.47) и используя оператор инверсии к преобразованию Лапласа, в случае ступенчатой падающей волны получаем

где

Аналогично (11.48) получаются формальные выражения для скорости и ускорения цилиндра.

Интеграл в решении (11.48) вычисляется с помощью теории вычетов и интегрирования вдоль полубесконечного разреза, поскольку функции Макдональда имеют точку ветвления в нуле. Числовые результаты (смещение, скорость и ускорение жесткого цилиндра для показаны на рис. 11.13-11.15.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление