Главная > Разное > Дифракция упругих волн
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Сферическая полость. Общая задача

Исследуем нестационарную концентрацию напряжений около сферической полости в упругой среде при действии плоской волны расширения. Поместим начало декартовой и сферической систем координат в центр полости радиуса (рис. 12.3). Падающая плоская ступенчатая волна расширения движется в отрицательном направлении оси и достигает точки в момент времени Напряжение в падающей волне имеет вид

Здесь некоторое постоянное напряжение; функция Хевисайда; записаны в безразмерных координатах

в которых черточка над обозначениями опущена.

Поле отраженных волн определяется из решения волновых уравнений (1.3), в которых

и начальных условий

Потенциал падающей волны

Применяя преобразование Лапласа по и разлагая результат в ряд по полиномам Лежандра, получаем

Решение волновых уравнений (1.3) в области изображений в сферических координатах имеет вид

Здесь произюльные постоянные. Решение (12.18) удовлетворяет условию на бесконечности.

Подставляя выражения (12.17), (12.18) в условие (12.14), а также учитывая, что модифицированные функции Бесселя целого с половиной индекса выражаются через рациональные функции от получаем следующее выражение для изображения окружного напряжения на поверхности полости:

где

(см. скан)

Как следует из (12.20), порядок полинома равен 4 при при

На рис. 12.4 показано вычисленное в работе [91] напряжение Стее на поверхности полости в точке с учетом шести членов ряда (12.17). Значение коэффициента Пуассона принято равным 1/3. Как видно из рис. 12.4, максимальное значение достигается при и оно на 11% выше, чем в статическом случае.

Для суммы напряжений на контуре отверстия выражение в области изображений имеет вид

где

(кликните для просмотра скана)

В работе [77] обращение выражения (12.21) проведено с помощью интегрального уравнения Вольтерра, методом, изложенным в § 6 третьей главы. На рис. 12.5 показана зависимость от времени в точках полости для При вычислениях удерживалось 10 членов ряда (12.17).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление