Главная > Разное > Дифракция упругих волн
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Поступательное и вращательное движение сферического включения

Жесткая сфера массы радиуса впаяна в безграничную упругую среду с параметрами Если к уравнению движения среды в векторной форме применить интегральное преобразование Фурье по времени [53] с параметром о, то получим

Здесь вектор смещения среды. На поверхности включения

или

где смещение точки поверхности сферы. Следуя [69], рассмотрим векторы

Здесь сферические угловые функции; сферические функции Ханкеля I рода. Индекс принимает два значения: или 0, что указывает на использование или в сферической гармонике.

Линейная комбинация векторов (12.24) дает затухающее на бесконечности решение уравнения (12.22). В сферических координатах векторы (12.24) можно выразить через взаимно ортогональные векторные функции [69].

Пусть [53] сфера совершает движение в направлении оси по закону

Введены безразмерные координаты

Решение уравнения (12.22) ищем в виде [69]

В силу симметрии по углу в разложении участвуют только волны со сферическими гармониками порядка Используя выражение для векторов (12.24) через векторы [69] и граничное условие (12.25), получаем при

Здесь сферические функции Ханкеля от аргументов соответственно . В силу ортогональности и свойств полиномов Лежандра получим, что единственно отличные от нуля коэффициенты определяются из системы уравнений

а именно

Вычисляя теперь вектор напряжений на сфере а через него — равнодействующую напряжений

получим в изображениях

Применяя инверсию преобразования Фурье и используя теорию вычетов, получаем [53]

где — корни уравнения Тогда закон изменения силы, которая обусловливает движение сферы (12.25), имеет вид

Пусть теперь сфера совершает поворот вокруг оси по заданному закону так, что на поверхности сферы Решением уравнения (12.22) будет

Главный момент напряжений на поверхности сферы

откуда

Действующий момент определяется из уравнения движения

где главный момент инерции сферы. Окончательно имеем

Здесь V — объем сферы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление