Главная > Разное > Динамика и информация
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9. Волны

Весьма широкий класс газодинамических процессов составляют течения или колебания газа со скоростями, значительно меньшими скорости звука. Сюда включается и собственно звук с малой амплитудой и несжимаемые течения с . С последними мы встретимся позднее, а сейчас познакомимся со звуком. Будем считать, что амплитуда колебаний мала, так что отклонения плотности и давления от их равновесных значений малы. Считая малой также и скорость и, уравнения газодинамики можно линеаризовать. А решения линейных однородных уравнений всегда можно считать составленными из элементарных решений типа плоских волн , где k — волновой вектор. Для плоской волны уравнения примут вид

Здесь — показатель адиабаты. Из двух последних уравнений (37) находим

где — скорость звука.

Соотношение (38), связывающее между собой частоту и волновой вектор, называется дисперсионным уравнением. Отметим, что согласно второму из уравнений (37) перемещение среды происходит по направлению волнового вектора. Сравнивая первое и третье уравнения (37), мы видим, что

А так как то отсюда следует, что при распространении звука возникает возмущение температуры, так что Это вполне естественно, так как давление газа при идеальных звуковых колебаниях изменяется по закону адиабаты.

Найдем теперь выражение для плотности импульса Р и плотности энергии звуковой волны. Обозначая угловыми скобками усреднение по пространству, получаем во втором приближении по амплитуде колебаний

где и — компонента скорости вдоль к.

Здесь мы воспользовались первым соотношением (37), чтобы выразить через и. Что касается энергии колебаний, то она складывается из кинетической и потенциальной энергий. Потенциальную энергию легко найти, если два последних уравнения (37) записать в виде более простого соотношения

где с, — смещение среды, т.е. а и — компонента скорости и по направлению волнового числа (только она и испытывает колебания). Для волны с заданным волновым числом мы имеем просто гармонический осциллятор, а у него средняя кинетическая энергия равна средней потенциальной энергии. Таким образом, имеем просто

Сравнивая между собой выражения (39), (41), мы видим, что имеет место замечательное соотношение

где есть фазовая скорость волны. Это очень важное соотношение. Оно имеет гораздо более общий характер и относится не только к звуковой волне, но и к любым другим волнам малой амплитуды в изотропных средах. Поясним, что оно означает.

Любую продольную волну можно возбудить силой, которая прикладывается вдоль волнового вектора в резонансе с волной. Пусть эта сила рассчитанная на единицу объема среды, движется с фазовой скоростью За время приложенная извне сила приведет к появлению импульса В то же время эта сила совершит работу где — путь, пройденный точкой волны с одной и той же резонансной фазой. Но по закону сохранения энергии так что

Любопытно рассмотреть, что происходит с волной при движении среды, скажем, со скоростью вдоль оси В выражении описывающем распространение волны в неподвижной среде, мы должны заменить на и тогда получим новую экспоненту где

Это хорошо известный доплеровский сдвиг частоты. Вместе с частотой меняется и плотность энергии:

Здесь — плотность энергии волны в системе координат, движущейся вместе со средой, плотность энергии в лабораторной системе. Согласно (44) при плотность энергии в обращается в нуль. Такую волну можно возбуждать без затраты энергии. Для звуковой волны с условие согласно (43) выглядит как

Это хорошо известное условие черенковского излучения. В случае звуковой волны условие (45) определяет раствор конуса Маха.

При достаточно большой скорости среды частота со может оказаться отрицательной. При этом и энергия волны в лабораторной системе координат становится отрицательной: для возбуждения волны потребуется не сообщать энергию среде, а отбирать ее от среды. В этом случае говорят об аномальном эффекте Доплера.

Соотношения для энергии и импульса волны удобно представить несколько в другом виде. Допустим для простоты, что волна распространяется вдоль оси х. Скорость колебаний среды для волны с данным волновым числом к можно представить в виде

где означают просто соответствующие величины для амплитуды и частоты при множителе с отрицательным волновым числом —k. Но так как и должна быть действительной величиной, то Нетрудно видеть, что среднее по х значение квадрата скорости

Выберем теперь некоторую определенную точку на оси х, скажем, Тогда скорость и в этой точке можно представить в виде

где амплитуды называют фазорами) даются выражениями

Плотность энергии волны выражается через амплитуды очень простым образом, а именно, Скорость и в точке можно представить также в виде

Коэффициенты называются квадратурными компонентами, потому что разность фаз между косинусом и синусом равна Нетрудно проверить, что

Поскольку плотность импульса выражается через плотность энергии как

то с помощью амплитуд находим простое выражение для какак. Введем теперь вспомогательную функцию определяемую соотношением

Нетрудно видеть, что имеют место соотношения

Другими словами, величину можно интерпретировать как некоторое условное "число волн" в единице объема. Плотность энергии и плотность импульса получаются простым умножением "элементарной энергии" и "элементарного импульса" k на условную "плотность волн".

Выражения (49) легко обобщаются на волновые пакеты, когда величина локализована в некоторой сравнительно широкой области пространства, обращаясь в нуль за пределами этой области.

В этом случае выражение (49) можно проинтегрировать по пространству и получить значения полной энергии и полного импульса для волнового пакета.

Заметим, что соотношения (49) могут быть распространены на любые волны малой амплитуды, поскольку выражение является универсальным. Соответственно, значение собственной частоты в выражении (49) не обязательно должно быть равно как для звуковой волны, а может определяться соответствующими дисперсионными соотношениями для любой однородной среды.

Согласно дисперсионному уравнению (39) для каждого значения волнового вектора к можно найти два значения частоты: и . Соответственно, допускается существование двух волн: одна распространяется вдоль к, а другая — в противоположном направлении. Для одной из волн дисперсионное уравнение (если корень не кратный) записывается в виде где — соответствующее собственное значение для частоты. А для суперпозиции таких волн, принадлежащих одной и той же ветви колебаний, мы имеем соотношение

Здесь — это элементарная плоская волна, отвечающая зависимости -ког Легко видеть, что

так что для имеем

Выражение в правой части уравнения (51) можно рассматривать как результат действия некоторого оператора Н на пространственные координаты функции Например, для звуковой волны, распространяющейся вдоль х, частота так что . Для других волн выражение для Н может быть более сложным. Мы рассмотрим здесь лишь один частный случай, а именно, эволюцию огибающей волнового пакета.

Введем на некоторое время обозначение для волновой функции (это самый простой термин для названия Пусть теперь Здесь частота волны с волновым числом , а функция играет роль амплитуды, т.е. огибающей волны с заданными Будем считать, что является плавной функцией переменных Тогда разложение в сумму гармоник типа будет содержать частоты и волновые векторы с Пользуясь этим, воспользуемся разложением в ряд Тейлора по

Здесь

а член с появился из-за того, что

Если подставить полученные соотношения в (51), то после сокращения на общий фазовый множитель получим

Это уравнение описывает эволюцию огибающей волнового пакета. Оно называется параболическим уравнением Леонтовича. Если пространственные размеры волнового пакета очень велики, то двумя последними членами в правой части (53) можно пренебречь, и тогда волновой пакет просто переносится с групповой скоростью Заметим, что поскольку уравнение (53) написано для огибающей, абсолютная фаза комплексной амплитуды перестала иметь смысл: замена на где оставляет уравнение (53) неизменным.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление