Главная > Разное > Динамика и информация
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

11. Уравнение Шрёдингера

Квантовая механика показала, что все микрочастицы обладают волновыми свойствами. А именно, каждой свободной частице соответствует волна с частотой со и волновым вектором к, так что энергия этой частицы равна а импульс где — постоянная Планка. Для свободной частицы с массой энергия равна Другими словами, Соответственно, уравнение (51) для свободной частицы принимает вид уравнения Шрёдингера

Заметим, что подобно уравнению Леонтовича (53) уравнение Шрёдингера инвариантно по отношению к замене на где — постоянный сдвиг фазы. Если частица не является свободной, а движется в потенциале то суммарная энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий, и соответственно, уравнение Шрёдингера записывается в виде

где — оператор Гамильтона.

Уравнение (57) по аналогии с (51) можно было бы считать относящимся к классическому волновому полю. Тогда можно было бы интерпретировать как плотность одинаковых бозе-частиц в данной точке пространства. Перенесение уравнения Шрёдингера на одну частицу потребовало интерпретации как плотности вероятности, и мы подробно обсудим этот подход в последующем изложении.

А пока рассмотрим уравнение свободного движения (57) для одной частицы в случае только одного измерения, когда

Уравнение (57) похоже на уравнение диффузии, но только с дополнительной мнимой единицей в левой части уравнения. Поэтому и подход к его решению может быть сходен с решением параболического

уравнения диффузии. Допустим, например, что при волновая функция имеет вид

Эта функция нормирована на единицу, т.е.

Она описывает волновой пакет, локализованный на интервале масштаба Прямой подстановкой можно проверить, что в последующие моменты времени решение уравнения Шрёдингера имеет вид

где С помощью этой функции нетрудно вычислить среднеквадратичное значение Оно оказывается равным

Это выражение в точности соответствует известному соотношению неопределенностей

А именно, если начальная локализация составляет величину то неопределенность скорости приводит к расширению волнового пакета со скоростью и при больших значениях времени локализация возрастет как

Локализованное возмущение (59) можно было бы удержать с помощью гармонического потенциала Нетрудно проверить, что при этом константа "упругости" а энергия осциллятора При константа а

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление