Главная > Разное > Динамика и информация
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

12. Намерения

Ю. Орлов обратил внимание на то, что во многих наших поступках и, в особенности, в мотивации этих поступков нередко проявляется некоторое сходство с квантовой механикой. Для описания таких особенностей наших действий или рассуждений он предложил даже

использовать новый термин "волновая логика". Во введении такой терминологии, скорее всего, нет большой необходимости, но все же, двигаясь по намеченному им пути, можно по-новому взглянуть как на некоторые особенности нашего мышления, так и на пародоксальную структуру квантовой механики.

Представим себе, что нам нужно принять некоторое решение, которое соответствует только двум возможным ответам: да или нет. Это может любое решение в диапазоне от самого ответственного до самого простого, например, встать со стула или сидеть на нем в течение некоторого промежутка времени. Варианты соответствующих ответов можно обозначить символами Интуитивно мы можем ощущать нашу склонность к тому или иному ответу, и поэтому должна существовать некоторая числовая характеристика нашего предпочтения. Наши колебания в ту или иную сторону являются полностью обратимыми до тех пор, пока мы не приняли окончательного решения. Нашу склонность к тому или иному решению можно характеризовать некоторым параметром а, который имеет возможность изменяться в каком-то смысле, приближаясь то к то . А сам акт решения должен давать либо либо -1 без всяких промежуточных возможностей.

Чтобы понять, как может выглядеть параметр а, можно провести следующий мысленный эксперимент. Допустим, что на заданный вопрос должны ответить N человек, и все они на данный момент находятся в одном и том же состоянии нерешительности. Потребовав немедленного ответа, мы получим ответов с ответов Таким образом, можно ввести вероятности положительного и отрицательного ответов. Сумма поэтому можно ввести параметр а такой, что а. Отсюда видно, что величину а целесообразно представлять себе в виде единичного вектора в двумерном пространстве где а. Квадраты проекций вектора а на оси равны соответствующим вероятностям:

Теперь видно, что наши колебания с принятием того или иного решения связаны с поворотами единичного вектора в двумерном пространстве. Эти колебания можно считать полностью обратимыми: мы можем склоняться то к одному, то к другому ответу. Но если ответ дан, то тем самым дан старт развитию необратимых процессов, так что и сам ответ принадлежит к цепочке необратимых событий.

Введем в рассмотрение матрицу

Нетрудно видеть, что ответ "да" или "нет" соответствует собственному вектору, удовлетворяющему соотношению ста где к — ±1. Другими словами, принятие решения соответствует "коллапсу" вектора а либо в вектор либо в вектор Сам вектор а условимся называть "намерением", которое превращается в "решение" только в результате действия проекционного оператора Р, который проецирует вектор а в состояние с вероятностью либо в ортогональное ему состояние с вероятностью Соответственно, Вместо двумерного вектора можно использовать комплексное число Поскольку число а можно представить в виде Нетрудно видеть, что да равно а, т.е. комплексно сопряженному числу. Собственным значениям а соответствуют величины 1 или нашим колебаниям в принятии решения соответствуют просто операции вида где — "угол поворота" либо к ответу либо к ответу — 1.

Итак, мы приходим к комплексному представлению "намерения" в простейшем случае ответов "да" или "нет". Совокупность этих ответов естественно назвать "пространством намерений". Рассмотрим теперь более сложные пространства намерений, в частности, пространства с большим числом измерений.

Допустим, например, что речь идет об избирательной кампании по выборам на высший пост страны. Пусть имеется кандидатов, по каждому из которых избиратель должен ответить в двоичной системе: "за" или Ответу "за" мы опять припишем число 1, ответу "против" — число -1. Таким образом, намерению избирателя по каждому кандидату с номером естественно приписать комплексное число которое при голосовании может быть равным 1 (т.е. "да") или (т.е. "нет"). Другими словами, результат голосования соответствует собственному значению соотношения Здесь собственное значение может быть равно либо 1, либо — 1.

Совокупность комплексных чисел образует вектор в комплексном -мерном пространстве, удовлетворяющий условию нормировки Вектор а можно относить либо к отдельному избирателю, либо ко многим и даже всем избирателям. До проведения выборов вектор а можно рассматривать как характеристику общественного мнения. Например, с помощью анонимного опроса можно попытаться оценить долю голосов, которую избиратели готовы отдать тому или иному кандидату. Таким образом можно получить представление о распределении величин если интерпретировать как долю голосов, предположительно отдаваемых за кандидата с номером . А можно провести опрос по избранному

кандидату, и тогда мы сможем оценить фазу о, по кандидату с номером где фаза определена соотношением в предположении, что мы рассматриваем только данного кандидата, т.е. считаем

До голосования вектор а может испытывать обратимые изменения в зависимости от того, как меняется общественное мнение. Задача избирательной кампании по каждому кандидату состоит в увеличении соответствующей компоненты вектора а. А в момент выборов каждый избирательный бюллетень должен приобрести вид т.е. вид вектора только с одной отличной от нуля компонентой. Можно сказать, что голосование каждого избирателя осуществляет проекцию (коллапс) вектора а на одну из осей Величина при этом становится равной единице, а комплексное число поворачивается к действительной оси. Результат такого преобразования можно описать некоторым проекционным оператором Как мы видим, главным действием такого оператора является выбор ячейки с номером а "поворот" к ответу "да" является как бы само собой разумеющимся. Поэтому результат голосования (хочется сказать "измерения") по многим избирателям характеризуется просто распределением вероятностей Это значит, что главной характеристикой процесса превращения "намерения" в "решение" являются модули компонент А возможные состояния вектора а до принятия решения можно описать суперпозициями вида где а и b возможные намерения. Это значит, что мы имеем дело с линейным векторным пространством. Поскольку векторы вида а должны удовлетворять условию нормировки

то речь идет о комплексном метрическом пространстве, в котором определена операция скалярного произведения векторов. Таким образом, колебаниям общественного мнения перед голосованием соответствуют возможные повороты единичного вектора а в n-мерном пространстве. Эти повороты можно представлять себе как результат соответствующих унитарных преобразований: где — унитарная матрица. В компонентах это соотношение выглядит как

Если после некоторого изменения общественного мнения произошло его новое изменение V, то в результате получим вектор т.е. появляется операция умножения операторов. Произведение в общем случае не коммутативно, но переход также является вполне допустимым. Естественно, что каждому переходу можно сопоставить обратный переход

Таким образом, эволюция вектора а до принятия решения может быть вполне обратимой: после каждого перехода обратным переходом можно вернуться в прежнее состояние. А коллапс, т.е. акт принятия решения, является существенно необратимым: построить оператор, обратный проекционному оператору в случае измерений просто невозможно.

Допустим теперь, что общая схема поведения сложных систем является достаточно универсальной и состоящей из цепочки изменения намерений и принятия решений. Кажется естественным допустить, что точно такая же схема может реализоваться в сложных физических системах. Здесь мы немедленно сталкиваемся с вопросом о том, существуют ли вообще простые системы и не является ли природа сложной во всех своих проявлениях. Более приемлемой кажется именно вторая возможность. Поэтому не кажется невероятным, что даже одна изолированная, т.е. свободная микрочастица, может иметь изменяющиеся во времени намерения, которые должны превращаться в "решения" только при соприкосновении частицы с внешним миром.

Рассмотрим свободную микрочастицу с массой (например, электрон), которая может испытывать свободное движение вдоль оси х. Намерения такой частицы можно описывать комплексной функцией имеющей следующий физический смысл: вероятность нахождения частицы в интервале равна Разумеется, такое определение предполагает, что у частицы имеется возможность дать ответ о своем местонахождении прибору, который измеряет координату х. Только в этих условиях намерение может коллапсировать в интервал с вероятностью Если частице и ее намерению задаются другие вопросы с помощью других приборов, то ответ может быть другим, и коллапс в конечное состояние будет отличен от попадания в интервал

Коллапс намерения при измерении является заведомо необратимым процессом: восстановить исходную функцию по сколлапсированной локализованной функции не представляется возможным. Но до коллапса, т.е. до соприкосновения с измерительным прибором, функция может обратимо эволюционировать во времени, так что Попытаемся найти эту эволюцию, исходя из некоторых достаточно общих предпосылок.

Ясно, что эволюция должна происходить непрерывно в силу того, что время непрерывно и любой момент времени не имеет никаких отличительных признаков.

Наряду с рассмотрим функцию в несколько более поздний момент времени Поскольку при такой эволюции должно выполняться условие нормировки функция должна получаться из некоторым унитарным преобразованием:

Функция должна быть симметричной относительно а при она должна стремиться к Будем считать, что интервал очень мал. Тогда можно разложить по разности ограничиваясь малыми членами до второго порядка включительно:

где

При величина . Будем считать, что величина пропорциональна тогда в соотношении (62) можно перейти к пределу . Интеграл должен сохраняться, поэтому параметр должен быть чисто мнимым. Поскольку масштаб измерения длины и времени произволен, мы можем выбрать такую систему единиц, чтобы параметр равнялся просто мнимой единице. В этой системе мы получаем уравнение

которое в точности совпадает с уравнением Шрёдингера для одномерного движения свободной частицы, если использовать систему атомных единиц измерения: . А если ядро не симметрично относительно разности так что при

то получается уравнение Шрёдингера для частицы в потенциале

Таким образом, уравнение Шрёдингера можно рассматривать как уравнение для эволюции намерений квантовой частицы, а выражение можно считать амплитудой намерения перехода частицы из точки х в точку х за время . С помощью этой амплитуды легко может быть построен интеграл по траекториям согласно формализму Фейнмана [7]. Чтобы не усложнять формул, рассмотрим опять случай свободного одномерного движения. Нетрудно видеть, что при малых амплитуда перехода может быть представлена в виде

В самом деле, интеграл а среднее значение как и должно быть. Но величину можно считать равной где представляет собой действие на интервале представляет собой лагранжиан при С помощью элементарной амплитуды перехода при можно построить амплитуду перехода на любом конечном интервале времени

где — число малых интервалов на промежутке времени Выражение, стоящее под знаком экспоненты, представляет собой где есть классическое действие между точками за время В случае свободного движения имеет ту же самую структуру, что и достаточно лишь заменить на Но если речь идет о движении частиц в поле сил, то связь между амплитудой перехода за время и элементарной амплитудой перехода за интервал ставится сложнее.

Итак, формализм Фейнмана естественно укладывается в представления об эволюции намерений квантовой частицы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление