Главная > Разное > Динамика и информация
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

13. Частица в термостате

Рассмотрим квантовую частицу с одной степенью свободы в термостате, который представляет собой ящик длиной вдоль оси х. Движением частицы вдоль осей у к мы пока не интересуемся. Предполагая, что стенки ящика зеркально отражают частицу, мы

должны выбрать для частицы следующие собственные функции:

Здесь — собственная частота, — собственная энергия, — любое натуральное число. Нормировку у функций мы выбрали таким образом, что

Если стенки ящика находятся при температуре то частица должна прийти в термодинамическое равновесие со стенками при той же самой температуре. Это означает, что в соответствии с формулой Больцмана, или, что то же самое, с каноническим распределением статистической механики, вероятность нахождения частицы в состоянии равна

Здесь — нормировочный множитель, Так как то

и по этой причине функцию называют статистической суммой.

Иногда вместо вводят в рассмотрение свободную энергию и тогда выражение (64) записывается в виде

С помощью этого соотношения нетрудно найти среднюю энергию частицы

и другие термодинамические величины. Чтобы упростить соответствующие соотношения, мы предположим, что размеры системы очень велики, так что нижний уровень имеет энергию . Тогда вместо суммирования по в (65) можно произвести интегрирование, считая непрерывной переменной. Интегрировать по удобно от до но тогда из интеграла нужно вычесть единицу, равную при Разделив результат на 2, получим приближенное выражение для

Соответственно, можно найти выражения для других физических величин. В частности, для средней энергии находим выражение

Первый закон термодинамики для одномерной частицы можно записать в виде

Здесь , — энергия, давление и энтропия, отнесенные к одной частице, — длина сосуда. Допустим, например, что стенки теплонепроницаемы, так что и процесс является адиабатическим. При этом все вероятности должны сохранять свои прежние значения, что возможно лишь при

Это и есть закон адиабаты для одномерного случая. Если в соотношении (68) пренебречь малым вторым слагаемым и принять где величина играет роль "плотности частиц", то согласно (69) закон сохранения энергии при и связи (70) удовлетворяется. Что касается энтропии, то ее лучше определить в соответствии со статистической механикой

Здесь мы воспользовались соотношением (66). В другой записи соотношение (71) выглядит как

Для свободной частицы в очень большом ящике находим

где — малое число, которым можно пренебречь по сравнению с Полученные выше соотношения справедливы только при Если уменьшать длину то в выражении (68) для следует учесть второе слагаемое, что приводит к аналогичной добавке в выражении для давления: (Давление получается дифференцированием (68) по вдоль адиабаты Легко видеть, что при приближении нижний энергетический уровень становится сравнимым с Т.

Соответственно, при малых частица "сядет" на самый нижний энергетический уровень, и ее энергия при уменьшении будет возрастать как Энтропия будет равна нулю, а давление будет изменяться как Мы как бы доходим до "размера" частицы и для дальнейшей деформации частицы требуется большая затрата энергии.

Итак, грубо можно сказать, что — это характерный "размер" частицы при температуре Т, и тогда отношение означает число ячеек, по которым можно размещать частицу с температурой Т.

С помощью распределения вероятностей можно найти еще одну величину, которая в квантовой механике получила название матрицы плотности Матрица плотности похожа на корреляционную функцию для случайного набора классических волн. Она определяется следующим выражением:

При функция зависит только от разности Поэтому при вычислении (74) можно произвести усреднение по х при заданной разности Поскольку согласно соотношениям (66), (72), (73) вероятность

вычисление может быть проведено достаточно быстро. При этом опять суммирование по может быть заменено на интегрирование, и для получаем

где

Заметим, что это выражение может быть представлено в виде

где

Функция нормирована на единицу, т.е. интеграл от по х равен единице. Функция это как бы распределение плотности по х при фиксированном значении точки х, которая в свою очередь с вероятностью может быть расположена в одной из ячеек.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление