Главная > Разное > Динамика и информация
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

14. Дуализм волна-частица

Любой учебник по квантовой механике начинается с описания дуализма волна-частица: волновые свойства частицы описываются уравнением Шрёдингера, а корпускулярные свойства проявляются при измерениях. Например, если картину волновой интерференции электронов регистрировать с помощью фотопластинки, то потребуется накопить очень много пятнышек на пластинке, чтобы эта картина проявилась достаточно четко. Только с помощью очень многих событий можно подтвердить знаменитое соотношение связывающее между собой вероятность и квадрат модуля волновой функции Как это происходит практически, очень хорошо иллюстрируется рис. 3 в обзоре Намики и Паскацио [22], изображающим результат регистрации пучка электронов на фотопластинке. Появление каждого пятнышка на фотопластинке отвечает "коллапсу" волновой функции регистрируемого электрона: волновая функция данного электрона мгновенно уничтожается за пределами пятнышка. Сначала пятнышки появляются нерегулярно, и только после накопления большого числа пятнышек начинает прорисовываться дифракционная картина. За этой картиной стоит неизменная волновая функция падающего на пластину пучка электронов.

Роль конкретного механизма регистрации не столь уж велика: в точности такой же коллапс происходит при пролете электрона через камеру Вильсона с регистрацией соответствующего трека частицы. Более того, даже факт регистрации частицы не столь уж существен: важно лишь, чтобы частица оставила о себе "память" в макроскопической среде "детектора".

Дуализм волна-частица универсален и относится к любой микрочастице. Поэтому можно представить себе ситуацию, когда интерференционная картина создается волновой функцией одиночного атома или молекулы. Если такая частица проникает в макротело, например в газ при комнатной температуре, то первый же акт взаимодействия частицы с газом приведет к коллапсу ее волновой функции. А затем частица в газе будет испытывать броуновское движение: она придет в тепловое равновесие с газом и будет медленно диффундировать в

пространстве. Эту диффузию можно описывать при помощи матрицы плотности.

Существует определенное сходство в формальных выражениях для матрицы плотности в квантовой механике и для корреляционной функции случайного классического волнового поля. Однако, по существу, эти физические объекты разительно отличаются друг от друга. Дело в том, что волновая функция квантовой механики в простейшем случае относится только к одной частице. Грубо говоря, она реальна только там, где эта частица существует, и имеет мало смысла для тех областей, где частицы нет. Можно сказать и по-другому. В квантовой механике все физические величины получаются в результате действия некоторых операторов на волновую функцию. Соответственно, средние значения этих величин можно получить путем их усреднения с весом Отсюда видно, что абсолютная фаза и абсолютная амплитуда волновой функции не имеют физического смысла и могут быть выбраны для удобства расчетов по своему усмотрению. Поэтому сильные относительные изменения амплитуды в далеких по расстоянию точках не приводят к заметному изменению локальных физических величин, если градиент при этом изменяется ничтожно мало. По этой причине -функция приобретает смысл распределения вероятностей, а не распределения реальной плотности или волнового движения, как в случае классических полей.

Рассмотрим с этой точки зрения частицу в термостате. Как мы видели выше, энергия свободной частицы в таком термостате не зависит от длины если только

Повторим теперь с квантовой частицей тот же мысленный эксперимент, который был проведен с классической частицей. А именно, перегородим наш термостат непроницаемой перегородкой, разделив его на две части. При этом возмущение системы будет мало, и частица по-прежнему будет иметь энергию если только Частица при этом окажется только в одной из половин, но пока еще для внешнего мира это ничего не означает: при многократном повторении эксперимента все будет выглядеть так, как если бы равнялось в той, и в другой половинах.

Но допустим, что у нас есть способ "узнать", в какой из половин находится частица. В квантовой механике такое обнаружение частицы в одном из состояний называется "измерением". Как только это измерение сделано, в пустой половине исчезает, а в половине с частицей удваивается. Происходит коллапс волновой функции. При этом энтропия частицы уменьшается на т.е. на один бит.

Если бы во внешнем мире при этом ничего не изменилось, то можно было бы приступить к сооружению вечного двигателя второго рода. А

поскольку это невозможно, то во внешнем мире рассматриваемое нами измерение должно сопровождаться необратимым возрастанием энтропии на величину не менее одного бита. Можно сказать, что коллапс волновой функции — это реальный физический акт, но он производится не столько какими-либо приборами, сколько необратимым процессом внешнего мира.

Можно было бы попытаться "поймать" частицу в меньший интервал Если опять то перегородка не меняет энергии частицы, а ее энтропия уменьшается до т.е. на величину Не менее чем на эту величину, должна возрасти энтропия внешнего мира. Как мы видим, такой коллапс может происходить довольно непринужденно, если только Можно сказать, что величина характеризует эффективный "размер" частицы, и на расстояниях, значительно больших квантовая частица мало, чем отличается от классической. Другими словами, несмотря на волновые свойства, квантовая частица в сосуде большого размера может вести себя подобно классической частице.

Обсудим теперь этот же вопрос с несколько иной точки зрения. Волновая функция (63) может быть представлена в виде суммы

где а — некоторая амплитуда, а — волновое число. Как мы видим, это суперпозиция двух волн, одна из которых бежит направо, а другая — налево. Волновое число пропорционально импульсу частицы Значит, описывает частицу, которая бегает между зеркальными стенками и обладает постоянным импульсомрп. Такое движение при неподвижных стенках могло бы продолжаться вечно. Состояние такого типа в квантовой механике называется чистым.

Но при наличии теплообмена со стенками чистое состояние сохраниться не может: согласно (64) каждому такому состоянию отвечает лишь некоторая вероятность Если бы у нас имелась не одна частица, а очень много тождественных бозе-частиц, скажем, то в каждом состоянии мы могли бы иметь много частиц. В этом случае вероятность умноженная на полное число частиц соответствовала бы просто распределению Максвелла, а матрицу плотности умноженную на полное число частиц, можно было бы рассматривать как классическую корреляционную функцию случайного волнового поля При этом мы могли бы исходить из естественного предположения, что фазы собственных волн

взаимно случайны, так что усреднение по ним и приводит к усредненной корреляционной функции.

Если мы переходим к одной частице, то картина становится чисто вероятностной. В каждый момент времени частица может находиться только в одном из взаимно некогерентных состояний: одна частица не может иметь сразу много импульсов, если речь идет о ее тепловом движении. Если внезапно открыть одну из крышек и позволить частице убежать далеко от сосуда, то частицу можно обнаружить только с одним из возможных значений импульса. Точно так же нельзя иметь два значения импульса и у классической частицы. Таким образом, представляет собой только вероятность нахождения частицы в состоянии Разрушение взаимной когерентности -функций вследствие теплообмена со стенкой оставляет только одну возможность: частица остается в одном из взаимно некогерентных состояний. Происходит как бы скрытый "коллапс" волновой функции, но пока это еще не реальное измерение: внешний мир может еще не иметь информации о том, на каком уровне находится частица.

Если производить очень медленные действия с частицей, например перемещать торцевую перегородку или вводить новые перегородки, то частица может успевать переходить с уровня на уровень и в среднем принимать максвелловское распределение. С точки зрения внешнего мира такая частица ведет себя как малая термодинамически равновесная система. Можно и в этом случае иметь дело с матрицей плотности но соответствующие ей изменения или действия нужно усреднять по промежуткам времени, значительно большим, чем время установления термодинамического равновесия.

Если же попытаться достаточно быстро локализовать частицу в пространстве или установить величину ее импульса, то при этом автоматически произойдет коллапс вероятностей, сопровождаемый коллапсом волновой функции. Именно этот акт не может быть произведен без возрастания энтропии во внешнем мире. Другими словами, акт коллапса — это миниатюрный необратимый процесс, что-то вроде микроскопического рождения или смерти.

Рассмотренный нами пример показывает, что реальный акт измерения в квантовой механике можно представлять себе как бы составленным из двух действий: подготовка -функции к разложению на взаимно некогерентные компоненты и затем коллапс в одну из этих компонент. Разрушение когерентности, сопровождаемое внутренним коллапсом, может происходить просто за счет внешних шумов или теплового движения, а для осуществления коллапса при измерении необходим реальный неравновесный процесс, который порождает информацию в измеряющем приборе и рождает не меньшее количество

энтропии во внешнем мире. В реальных условиях обе составляющие измерения могут совмещаться или быть трудно различимыми. Они скорее важны для логической ясности, чем для практической реализации.

Продолжим обсуждение поведения частицы в сосуде длины но теперь предположим, что только один из торцов поддерживается при температуре Г, а второй торец является очень холодным, т.е. находится при температуре практически нулевой. Тогда рассматриваемая нами частица получает возможность переносить тепловой поток Легко оценить максимально возможную величину Она достигается, если при первом же ударе о теплую стенку частица получает тепловую энергию Перелетая к холодной стенке, частица передает ей энергию того же масштаба, а затем возвращается к теплой стенке за новой порцией тепла. Пусть — средняя тепловая скорость. Время пролета до второй стенки и возвращения к первой стенке не может быть меньше Таким образом, тепловой поток ограничен сверху величиной Реальный тепловой поток может быть гораздо меньше: его величина зависит от того, насколько эффективно частица успевает осуществить теплообмен со стенками при каждом ударе.

Допустим теперь, что частица была внесена в некотором локализованном состоянии (59) с начальной локализацией шириной Если эта частица к тому же движется со скоростью то соответствующая волновая функция, как нетрудно проверить, будет просто переноситься вдоль оси х со скоростью Если имеет масштаб тепловой скорости то время пролета от одной стенки до другой составляет величину Согласно (61) за это время частица дополнительно расплывается, но если подобрана таким образом, что величина расплывания сохраняет масштаб начальной ширины, т.е. то можно приближенно считать, что волновой пакет сохраняет свою ширину. Как мы видим, где величина определяет минимальную ширину локализации матрицы плотности. При величина b значительно превышает но в то же время оказывается в раз меньше, чем

Поскольку рассматриваемая нами система сильно неравновесна, то нельзя исключить ситуацию, что при каждом ударе о холодную стенку факт удара может регистрироваться, т.е. как бы "измеряться" самой стенкой.

Такой процесс означает, что фононы, порождаемые частицей, неупруго отражающейся от холодной стенки, могут производить в стенке необратимые деформации или другие возбуждения мягких

мод, которые затем "запоминаются" в том или ином виде. Необратимые процессы внутри стенки могут автоматически "измерять" частицу, т.е. производить дополнительное коллапсирование волновой функции. Величина при этом определяет минимальный размер волнового пакета: он достигается при условии, что "измерение" происходит при каждом ударе. Как мы видим, волновой пакет при этом может стать похожим на классическую частицу. Однако ширина этого пакета существенно превышает минимальный масштаб Согласно соотношению неопределенностей величине соответствует неопределенность импульса Можно сказать, что каждый волновой пакет уширен на несколько энергетических уровней, так что Если ширина локализации то частица может бегать как неравновесный волновой пакет и, чтобы заполнить в среднем весь дозволенный интервал скоростей ей придется испытать много столкновений со стенками.

Если уменьшать величину взаимодействия со стенкой, то степень неравновесности будет уменьшаться. Соответственно, будет увеличиваться ширина пакета пределе мы опять придем к ситуации, когда волновая функция частицы расплывется на весь размер Если при этом взаимодействие со стенками исчезающе мало, то частица будет очень долго находиться на каждом энергетическом уровне испытывая медленное броуновское движение по уровням за счет взаимодействия с тепловыми колебаниями стенок.

Итак, приведенные рассуждения показывают, что дуализм волна-частица в квантовой механике может во многом зависеть от внешних условий, в которых находится частица.

Аппарат квантовой механики позволяет описывать широкий набор конкретных физических ситуаций. В частности, для описания теплового движения частицы в виде движущихся пакетов можно опять воспользоваться матрицей плотности. Однако эта матрица плотности может отличаться от термодинамической матрицы плотности (74), поскольку для каждого волнового пакета фазы близких гармоник оказываются коррелированными между собой, т.е. каждый такой пакет выглядит как суперпозиция Если мы произведем усреднение (74), то получим выражение

в котором недиагональные матричные элементы не обязаны обращаться в нуль. Более того, в случае спст мы получим

просто одно единственное чистое состояние, которое отвечает выбранному нами волновому пакету.

Если опять провести аналогию с классическим полем, то можно сказать, что в случае чистого состояния фазы отдельных волн скоррелированы друг с другом, т.е. не являются полностью хаотическими. Переход к тепловому равновесию сопровождается хаотизацией фаз и разрушением когерентности. При этом частица может находиться только в одном из взаимно некогерентных состояний. Соответственно, при полной хаотизации фаз недиагональные члены в (77) исчезают, и мы приходим к обычному определению равновесной матрицы плотности с больцмановским распределением вероятностей по энергиям.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление